二次型

在數學中，二次型（Quadratic form）是關於一些變量的二次齊次多項式。例如

4x^{2}+2xy-3y^{2}

是關於變量x和y的二次型。其係數通常屬於一個確定的域， $K$ ，例如實數或者複數。人們通常稱之為：「在 $K$ 上的二次型。」在 $K=\mathbb {R}$ 時，且僅當所有的變量都為零時該二次型才為零時，則稱該二次型為確定雙線性形式，否則稱之為迷向二次型。

二次型在許多數學分支，包括在數論、線性代數、群論（正交群）、微分幾何(黎曼測度)、微分拓撲(intersection forms of four-manifolds)和李代數(基靈型)中，佔有核心地位。

請勿將二次型與二次方程混淆。二次型是更廣義的齊次多項式的特例。

歷史

18世紀，開始對二次型進行系統性研究，其起源於討論二次曲線與二次曲面的分類問題。1748年，瑞士數學家歐拉討論了三元二次型的化簡問題。1801年，正定二次型等的相關概念被高斯引進了他的「算術研究」。1826年，數學家柯西開始研究化三元二次型為標準形的問題。1852年,西爾維斯特提出了慣性定律。1857年，該定律被雅可比證明。1858年，德國數學家維爾斯特拉斯對同時化兩個二次型成平方和給出一般方法，他同時證明瞭「如果二次型之一是正定的，即使某些特徵根相等」。

介紹

二次型是n個變量上的二次齊次多項式。下面給出一個、兩個、和三個變量的二次形式：

q(x)=ax^{2}

q(x,y)=ax^{2}+by^{2}+cxy

q(x,y,z)=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dxy+exz+fyz

其中a, ..., f是係數。^{[註 1]} 注意一般的二次函數和二次方程不是二次形式的例子，因為它們不總是齊次的。

任何非零的n維二次型在一個 (n-1) 維的投影空間中定義了一個 (n-2) 維的二次曲面。在這種方式下可把3維二次型可視化為圓錐曲線。

術語二次型也經常用來描述二次空間，它是有序對（V,q），這裏的V是在域k上的向量空間，而q:V → k是在V上的二次形式。例如，在三維歐幾里得空間中兩個點之間的距離可以採用涉及六個變量的二次形式的平方根來找到，它們是這兩個點的各自的三個坐標。

q(x,y,z)=d((x,y,z),(0,0,0))^{2}=\|(x,y,z)\|^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}.

定義

設V是在交換環R上的模；R經常是域比如實數，在這種情況下V是向量空間。

映射Q : V → R被稱為在V上的二次形式，如果

Q(av) = a² Q(v)對於所有 $a\in R$ 和 $v\in V$ ，並且
2 B(u,v) = Q(u+v) − Q(u) − Q(v)是在V上的雙線性形式。

這裏的B被稱為相伴雙線性形式；它是對稱雙線性形式。儘管這是非常一般性的定義，經常假定這個環R是一個域，它的特徵不是2。

V的兩個元素u和v被稱為正交的，如果B(u, v)=0。

雙線性形式B的核由正交於V的所有元素組成，而二次形式Q的核由B的核中的有Q(u)=0的所有元素u組成。如果2是可逆的，則Q和它的相伴雙線性形式B有同樣的核。

雙線性形式B被稱為非奇異的，如果它的核是0；二次形式Q被稱為非奇異的，如果它的核是0。

非奇異二次形式Q的正交群是保持二次形式Q的V的自同構的群。

二次形式Q被稱為迷向的，如果有V中的非零的v使得 $Q(v)=0$ 。否則它稱為非迷向的。二次空間的一個向量或子空間也可以被稱為迷向的。如果 $Q(V)=0$ 則 $Q$ 被稱為完全奇異的。

性質

二次形式的一些其他性質：

Q服從平行四邊形定律：

Q(u+v)+Q(u-v)=2Q(u)+2Q(v)

向量u和v是關於B正交的，若且唯若

Q(u+v)=Q(u)+Q(v)

對稱雙線性形式

在低層的域的特徵不是2的時候，二次形式等價於對稱雙線性形式。

二次形式總是生成對稱雙線性形式（通過極化恆等式），而反過來要求除以2。

注意對於任何向量u ∈ V

2Q(u) = B(u,u)

所以如果2在R中是可逆的（在R是一個域的時候這同於有不是2的特徵），則我們可以從對稱雙線性形式B恢復二次形式，通過

Q(u) = B(u,u)/2.

當2是可逆的時候，這給出在V上的二次形式和V上的雙線性形式之間的一一映射。如果B是任何對稱雙線性形式，則B(u,u)總是二次形式。所以在2是可逆的時候，這可以用作二次形式的定義。但是如果2不是可逆的，對稱雙線性形式和二次形式是不同的：某些二次形式不能寫為形式B（u,u）。

我們在二維情況下描述這種等價。任何2維二次形式可以被寫為

F(x,y)=ax^{2}+by^{2}+cxy

.

這個向量空間的任何向量可以表示為 $x=(x,y)$ 。二次形式F可以表達為矩陣，假設M是2×2矩陣：

M={\begin{bmatrix}a&{\frac {c}{2}}\\{\frac {c}{2}}&b\end{bmatrix}}.

接着矩陣乘法給我們下列等式：

F(x)=x^{T}Mx

這裏的有上標的 $x^{T}$ 指示轉置矩陣。主要我們已經用了特徵不是2，因為我們除以2來定義M。所以我們看到了在2維二次形式F和對應於對稱雙線性形式的2×2 對稱矩陣M之間的對應。

這個觀察迅速推廣到n個變量和n×n矩陣的形式中。例如，在實數值二次形式中，實數的特徵是0，所以實數二次形式和實數對稱雙線性形式是來自不同觀點的同樣的東西。

如果V是n維的，我們寫雙線性形式B為相對於V的某個基{e_i}的對稱矩陣B。B的分量給出自 $B_{ij}=B(e_{i},e_{j})$ 。如果2是可逆的，二次形式Q給出自

2Q(u)=\mathbf {u} ^{T}\mathbf {Bu} =\sum _{i,j=1}^{n}B_{ij}u^{i}u^{j}

這裏 $u^{j}$ 是在這個基下的 $u$ 的分量。

實二次形式

假定 $Q$ 是定義在實數向量空間上的二次形式。

它被稱為是正定的（或者負定的），如果 $Q(v)>0$ (或者 $Q(v)<0$ )對於所有向量 $v\neq 0$ 。
如果我們放鬆嚴格不等於為≥或≤，則形式 $Q$ 被稱為半定的。
如果 $Q(v)<0$ 對於某個 $v$ 而且 $Q(v)>0$ 對於另一個 $v$ ，則 $Q$ 被稱為不定的。

設 $A$ 是如上那樣關聯於 $Q$ 的實數對稱矩陣，所以對於任何列向量 $v$ ，

Q(v)=v^{T}Av.

成立。接着， $Q$ 是正（半）定的，負（半）定的，不定的，若且唯若矩陣 $A$ 有同樣的性質（參見正定矩陣）。最終，這些性質可以用 $A$ 的特徵值來刻畫。

註釋

^ 對於在整數環上定義的二次型的係數的要求，有兩大傳統。其中一個傳統要求任何在整數環上定義的二次型中，任何項的係數都是整數（可以是任何整數）。另外，一個自高斯以來的另一個傳統要求任何在整數環上定義的二次型中，除了任何項的係數都必須是整數外，還要求任何涉及兩個不同變量相乘的項的係數都必須是偶數。換句話說，按照後一傳統，二元二次型中xy的係數b被替換為2b（其中新係數2b中的b是任何整數），而三元二次型中xy的係數d，xz的係數e以及yz的係數f分別被替換為2d、2e以及2f（其中新係數2d、2e以及2f中的d、e及f是任何整數）。換句話說，按照後一傳統，對於任何在整數環上定義的二次型，與該二次型相對應的對稱線性型的矩陣中的所有元素都必須是整數。兩種傳統都能在文獻中找到。

參考文獻

O'Meara, T. Introduction to Quadratic Forms. Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag. 2000. ISBN 978-3-540-66564-9.
唐建民, 殷羽. 線性代數[M]. 第2版. 重慶: 重慶大學出版社.

參見

二次形式 (統計)

[1] 對於在整數環上定義的二次型的係數的要求，有兩大傳統。其中一個傳統要求任何在整數環上定義的二次型中，任何項的係數都是整數（可以是任何整數）。另外，一個自高斯以來的另一個傳統要求任何在整數環上定義的二次型中，除了任何項的係數都必須是整數外，還要求任何涉及兩個不同變量相乘的項的係數都必須是偶數。換句話說，按照後一傳統，二元二次型中xy的係數b被替換為2b（其中新係數2b中的b是任何整數），而三元二次型中xy的係數d，xz的係數e以及yz的係數f分別被替換為2d、2e以及2f（其中新係數2d、2e以及2f中的d、e及f是任何整數）。換句話說，按照後一傳統，對於任何在整數環上定義的二次型，與該二次型相對應的對稱線性型的矩陣中的所有元素都必須是整數。兩種傳統都能在文獻中找到。

[註 1]