亞當–威廉姆森方程

亞當–威廉姆斯方程是指一個用來確定密度的方程。該方程常用於確定地震波的速度與地球內部密度之間的關係。通過岩石的平均密度和P波、S波的速度的函數分佈，它可以預測地球密度隨深度的關係。該方程的模型假定地球是對稱的、均勻的球形，並且處於流體靜力的平衡中。該方程實際上也可以應用於具有該性質的球殼。它被認為是是重要地球內部模型之一，例如初步地球參考模型。

歷史

亞當–威廉姆斯方程由L·H·亞當和E·D·威廉姆斯於1923年首次提出。他們得出了不可能僅在壓縮的基礎上解釋地球的密度之高的結論。緻密的內部不可能由被壓縮成小體積的普通岩石組成，因此在探究該問題時必須回到唯一合理的選擇，即應當考慮到更重的物質的存在。他們推測稱，如果從地球地殼的豐度、隕石和太陽中判斷，這種密度更大的物質可能是鐵。

理論

縱波（P波）和橫波（S波）在穿過不同介質時會有不同的速度，這種速度是被介質的彈性特性所決定的。在體積模量K、剪切模量μ和密度π的影響下，P波速度Vp和S波速度Vs為

${\begin{aligned}v_{p}&={\sqrt {\frac {K+(4/3)\mu }{\rho }}}\\v_{s}&={\sqrt {\frac {\mu }{\rho }}}.\end{aligned}}$

這兩種速度可以結合在地震參數中

$\Phi =v_{p}^{2}-{\frac {4}{3}}v_{s}^{2}={\frac {K}{\rho }}.$

(1)

其中，體積模量的定義為

$K=-V{\frac {dP}{dV}},$

相當於

$K=\rho {\frac {dP}{d\rho }}.$

(2)

假設一個距離地球中心的距離R可以被認為是流體靜力平衡中由地球下方的引力和它上面的部分的壓力作用的流體，並同時假設壓縮是絕熱的（即熱膨脹對密度變化沒有作用），則壓力p隨r的變化而變化：

${\frac {dP}{dr}}=-\rho (r)g(r),$

(3)

其中，g(r)是半徑R上的重力加速度

聯立1、2、3式，即可得出亞當–威廉姆斯方程

${\frac {d\rho }{dr}}=-{\frac {\rho (r)g(r)}{\Phi (r)}}.$

這個方程可以被積分獲得

$\ln \left({\frac {\rho }{\rho _{0}}}\right)=-\int _{r_{0}}^{r}{\frac {g(r)}{\Phi (r)}}dr,$

其中，R₀是地球表面的半徑，而π₀是地球表面的密度。