交換律

交換律（英語：Commutative property）是被普遍使用的一個數學名詞，意指能改變某物的順序而不改變其最終結果。交換律是大多數數學分支中的基本性質，而且許多的數學證明需要倚靠交換律。簡單運算的交換律許久都被假定存在，且沒有給定其一特定的名稱，直到19世紀，數學家開始形式化數學理論之後，交換律才得到正式的定義^[1]^[2]。

一般用法

交換律是一個和二元運算及函數有關的性質。而若交換律對一特定二元運算下的一對元素成立，則稱這兩個元素為在此運算下是「可交換」的。

在群論和集合論中，許多的代數結構被稱做是可交換的，若其中的運算域滿足交換律。在數學分析和線性代數中，一些知名的運算（如實數及複數上的加法和乘法）的交換律會經常被用於（或假定存在於）證明之中。^[3]^[4]^[5]

數學定義

「可交換」一詞被使用於如下幾個相關的概念中^[6]^[7]：

1. 在集合 $S$ 的一二元運算 $*$ 被稱之為「可交換」的，若：

\forall x,y\in S,x*y=y*x

一個不滿足上述性質的運算則稱之為「不可交換」的。

2. 若稱 $x$ 在 $*$ 下和 $y$ 「可交換」，即表示：

x*y=y*x

3. 一二元函數 $f:A\times A\to B$ 被稱之為「可交換」的，若：

\forall x,y\in A,f(x,y)=f(y,x)

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歷史

對交換律假定存在的應用早在很久之前便已有所記戴。埃及人用乘法的交換律來簡化乘積的計算。^[8]^[9]且知歐幾里得在《幾何原本》中已有假定了乘法交換律的存在。^[10]對交換律形式上的應用產生於18世紀末19世紀初，那時數學家開始在研究函數的理論。今日，交換律已被普遍認知，且在大多數的數學分支中被當做基本性質來使用。交換律的簡易版本通常會在初等數學教程中被教導。

第一個使用「可交換（commutative）」一詞的是 Francois Servois 於1814年寫下的筆記^[11]^[12]，這一詞在筆記中被用來指有着現在稱之為交換律的函數。這一詞首次出現於英語中的是在1844年的英國皇家學會哲學彙刊中。^[11]

例子

日常生活中的可交換運算

洗一雙鞋子可類比為一可交換運算，因為不論是左邊的鞋子先洗，還是右邊的鞋子先洗，最終的結果（兩隻鞋子都洗好）是一樣的。
成語「朝三暮四」也可看做是可交換運算的一個例子。

數學中的可交換運算

兩個廣為人知的可交換二元運算的例子為^[6]：

實數的加法

y+z=z+y\quad \forall y,z\in \mathbb {R}

例如，

4+5=5+4

，兩個表示式都等於 9 。

實數的乘法

yz=zy\quad \forall y,z\in \mathbb {R}

例如，

3\times 5=5\times 3

，兩者都等於 15 。

更多可交換二元運算的例子包括複數的乘法、向量的加法、和集合的交集與併集。

日常生活中的不可交換運算

洗衣和乾衣可類比成不可交換運算，因為先乾衣再洗衣和先洗衣再乾衣兩者會得出很不同的結果來。
魔術方塊是不可交換的。例如，將正面順時針扭轉，頂面順時針扭轉，再將正面逆時針扭轉（FUF'），並不會得出如將正面順時針扭轉，再將正面逆時針扭轉，最後再將頂面順時針扭轉（FF'U）一樣的結果。扭轉是不可交換的。這些扭轉被研究於群論中。

數學中的不可交換運算

一些不可交換二元運算^[13]有：

減法： $0-1\neq 1-0$ ，不過可將其減法符號轉換成加上其相反數，即可使用交換律。
除法： $1\div 2\neq 2\div 1$ ，可將除法轉換成乘上其倒數以使用交換律。
矩陣乘法：

{\begin{bmatrix}0&2\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}\neq {\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}

數學結構與交換律

阿貝爾群是一個群運算為可交換的群。^[4]
交換環是一個乘法為可交換的環。（環中的加法依定義總會是可交換的。）^[14]
域的加法與乘法都是可交換的。^[15]
中心是一個群最大的可交換子集。^[16]

註記

^ Cabillón & Miller，Commutative and Distributive
^ Flood, Raymond; Rice, Adrian; Wilson, Robin (編). Mathematics in Victorian Britain. Oxford University Press. 2011: 4 [2021-07-13]. ISBN 9780191627941. （原始內容存檔於2021-07-13）.
^ Axler, p.2
^ ^4.0 ^4.1 Gallian, p.34
^ p. 26,87
^ ^6.0 ^6.1 Krowne, p.1
^ Weisstein, Commute, p.1
^ Lumpkin, p.11
^ Gay and Shute, p.?
^ O'Conner and Robertson, Real Numbers
^ ^11.0 ^11.1 Cabillón and Miller, Commutative and Distributive
^ O'Conner and Robertson, Servois
^ Yark, p.1
^ Gallian p.236
^ Gallian p.250
^ Gallian p.65

參考資料

書籍

Axler, Sheldon. Linear Algebra Done Right, 2e. Springer. 1997. ISBN 978-0-387-98258-8.

Abstract algebra theory. Covers commutativity in that context. Uses property throughout book.

Goodman, Frederick. Algebra: Abstract and Concrete, Stressing Symmetry, 2e. Prentice Hall. 2003. ISBN 978-0-13-067342-8.

Abstract algebra theory. Uses commutativity property throughout book.

Gallian, Joseph. Contemporary Abstract Algebra, 6e. 2006. ISBN 978-0-618-51471-7.

Linear algebra theory. Explains commutativity in chapter 1, uses it throughout.

文章

https://web.archive.org/web/20080228100512/http://www.ethnomath.org/resources/lumpkin1997.pdf Lumpkin, B. (1997). The Mathematical Legacy Of Ancient Egypt - A Response To Robert Palter. Unpublished manuscript.

Article describing the mathematical ability of ancient civilizations.

Robins, R. Gay, and Charles C. D. Shute. 1987. The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text. London: British Museum Publications Limited. ISBN 978-0-7141-0944-2

Translation and interpretation of the Rhind Mathematical Papyrus.

線上資源

Hazewinkel, Michiel (編), Commutativity, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
Krowne, Aaron, Commutative at PlanetMath., Accessed 2007-08-08.
Definition of commutativity and examples of commutative operations
埃里克·韋斯坦因. Commute. MathWorld. , Accessed 2007-08-08.
Explanation of the term commute
Yark. [2008-02-21]. （原始內容存檔於2010-11-26）. Examples of non-commutative operations at PlanetMath., Accessed 2007-08-08
Examples proving some noncommutative operations
O'Conner, J.J.; Robertson, E.F. History of real numbers. MacTutor. [2007-08-08]. （原始內容存檔於2009-09-18）.
Article giving the history of the real numbers
Cabillón, Julio; Miller, Jeff. Earliest Known Uses Of Mathematical Terms. [2008-11-22]. （原始內容存檔於2011-05-01）.
Page covering the earliest uses of mathematical terms
O'Conner, J.J.; Robertson, E.F. biography of François Servois. MacTutor. [2007-08-08]. （原始內容存檔於2009-09-02）.
Biography of Francois Servois, who first used the term

另見

[Cabillón-1] Cabillón & Miller，Commutative and Distributive

[Flood11-2] Flood, Raymond; Rice, Adrian; Wilson, Robin (編). Mathematics in Victorian Britain. Oxford University Press. 2011: 4 [2021-07-13]. ISBN 9780191627941. （原始內容存檔於2021-07-13）.

[3] Axler, p.2

[#1-4] 4.0 ^4.1 Gallian, p.34

[5] . 26,87

[#2-6] 6.0 ^6.1 Krowne, p.1

[7] Weisstein, Commute, p.1

[8] Lumpkin, p.11

[9] Gay and Shute, p.?

[10] O'Conner and Robertson, Real Numbers

[autogenerated1-11] 11.0 ^11.1 Cabillón and Miller, Commutative and Distributive

[12] O'Conner and Robertson, Servois

[13] Yark, p.1

[14] Gallian p.236

[15] Gallian p.250

[16] Gallian p.65

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閱論編二元運算的性質
閉包（封閉律） · 分配律 · 零因子 · 吸收律 · 冪等律 · 冪零律
結合性	結合律 · 冪結合性
交錯性	交換律 · 反交換律
單位元	加法單位元 · 乘法單位元 · 有單位的
反元素	加法反元素 · 乘法反元素

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