數論中,克羅內克符號寫作
或(a|n),是雅克比符號對全體整數n的推廣。首先被利奧波德·克羅內克提出。
如果n是一個非零整數,具有質因子分解
![{\displaystyle u\cdot {p_{1}}^{e_{1}}\cdots {p_{k}}^{e_{k}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1179d4218d118616ce66910198e8cdd2c51f168)
這裏u是一個單位(例如, u為1或−1),並且pi是質數。a是一個整數。那麼克羅內克符號(a|n)定義為
![{\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)=\left({\frac {a}{u}}\right)\prod _{i=1}^{k}\left({\frac {a}{p_{i}}}\right)^{e_{i}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08e2f22bd3daccb80fafe21c40340c699d84a538)
對於奇素數pi, (a|pi) 與通常的勒讓德符號相等。當pi = 2。 定義(a|2)為
![{\displaystyle \left({\frac {a}{2}}\right)={\begin{cases}0&{\mbox{if }}a{\mbox{ is even,}}\\1&{\mbox{if }}a\equiv \pm 1{\pmod {8}},\\-1&{\mbox{if }}a\equiv \pm 3{\pmod {8}}.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e7fa391ec33e0ab31175ad8f49eae942204c6a5)
這使得它是雅克比符號的推廣,(a|u)的值在u = 1時為1。在u = −1時,定義
![{\displaystyle \left({\frac {a}{-1}}\right)={\begin{cases}-1&{\mbox{if }}a<0,\\1&{\mbox{if }}a\geq 0.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95b3d8657c8313eeec70e47226d0da8e544c73aa)
最終我們加上:
![{\displaystyle \left({\frac {a}{0}}\right)={\begin{cases}1&{\text{if }}a=\pm 1,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1682ad30dd59d8fa34401d86aba1bb777e8f9b3)
這些擴展足以將克羅內克符號覆蓋所有的整數n。
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