始對象和終對象

在數學領域，範疇C的對象I稱為始對象（或初始對象），若對任何對象X，從I到X的態射唯一，或者說，C(I,X)為單元素集合。終對象（或終止對象、終結對象）是始對象的對偶概念。範疇C的對象T稱為終對象，若對任何對象X，從X到T的態射唯一。若某對象即是始對象又是終對象，則稱其為零對象。

性質

範疇的始對象或終對象不一定存在。然而，若存在多個始對象，則它們互相同構。終對象也類似。

例子

• 範疇Set(以集合為對象，函數為態射)的唯一始對象為空集。空集到任何集合的態射只有唯一的一個空映射。任意單元素集合均為Set的終對象。任何集合到單元素集合只有一個把所有元素都映射到該單元素的態射。單元素集合之間互相同構。Set不存在零對象。

• 由非空集合組成的範疇中不存在始對象。單元素集合僅為終對象，而非始對象：給定一非空集合，將該單元素映射到該集合不同元素的態射是不同的。

• 由點集合組成的範疇（對象為標記出一個特殊元素a的非空集合A，記為(A,a)；從(A,a)到(B,b)的態射為滿足f(a) = f(b)的函數f : A → B）：任意單元素集合為零對象。類似地，在由標記了特殊元素的拓撲空間組成的範疇中，任意單元素空間為零對象。

• 範疇Grp(以群為對象，群同態為映射)：只包含一個單位元素的單元素群即是始對象，又是終對象，故為Grp的零對象。對阿貝爾群範疇與佈於一個固定的環上的左模也一樣，這是零對象一詞的來由。

• 由環組成的範疇：整數環（或其它與之同構的環）為始對象。只包含一個元素0（=1）的平凡環為終對象。

• 在概形的範疇中，Z的交換環譜是終對象。空概形（即平凡環的譜）是始對象。

• 由域組成的範疇：不存在始對象或終對象。

• 任意偏序集合(P,≤)可看作一個範疇：P的元素為對象，x到y存在一個態射若且唯若x ≤ y。該範疇存在始對象若且唯若P存在一最小元素；類似地，該範疇存在終對象若且唯若P存在最大元素。始對象和終對象的命名在這裏得到很直觀地體現。

• 由圖組成的範疇：空圖（沒有頂點和邊）為始對象。只有一個頂點和一條該頂點到自身的邊的圖為終對象。由簡圖（不允許迴路）組成的範疇無終對象。

• 以所有小範疇為對象、函子為態射的範疇：類似上例，空範疇為始對象。只有一個對象和一個從該對象到自身態射的範疇為終對象。

• 任意拓撲空間X可看作一個範疇：所有開集為對象，從開集U到V存在一個態射若且唯若U ⊂ V。該範疇中，空集為始對象，X為終對象。

• 設X為一拓撲空間（按上述方法看作一範疇），C為一小範疇。定義由從X到C的所有逆變函子為對象，自然變換為態射的範疇。該範疇稱為X上以C為值的預層範疇。如果C存在始對象c，則將任何開集映射為c的常函子為該範疇的始對象（始預層）。類似，如果C存在終對象，則對應該終對象的常函子為此範疇的終預層。

• 給定阿貝爾群的一群同態f : A → B，考慮以二元組(X,φ)為對象的範疇（其中X為阿貝爾群，φ : X → A為滿足f φ = 0的群同態），其從(X, φ)到(Y, ψ)的態射為滿足ψ r = φ的群同態r : X → Y：f的核即為該範疇的終對象。上述即為核的泛性質。類似地，f的上核為相應範疇的始對象。

• 函子的極限也可類似處理。給定函子F : I → C，定義範疇Cone(F)如下：其對象為二元組(X, (φ_i))，其中X為C的對象，且對任意I的對象i，φ_i : X → F(i)為C中滿足對I中任意態射ρ : i → j都有F(ρ)φ_i = φ_j的態射；從(X, (φ_i))到(Y, (ψ_i))的態射r為滿足對任意I的對象i都有ψ_i r = φ_i的C的態射r : X → Y。極限的泛性質可表示如下：(X, (φ_i))為Cone(F)的終對象若且唯若其為F的極限。

• 更一般的規律是：任何具有泛性質的構造都可看作適當範疇的始對象或終對象。