在數學中,完全平方有兩個含義:
- 一個完全平方是可以表示成另一個整數的平方的正整數,也就是說,這個正整數可以寫成n2的形式,其中n是整數。
- 例如:1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ... 參見平方數。
完全平方可以分解為如下數式:
1=1×1=1²,
4=2×2=2²,
9=3×3=3²...等
- 可以分解成其它表達式的平方的算數表達式(稱為因式分解),例如:(a ± b)2 =a2 ± 2ab + b2 。(參見和平方或差平方或平方)
整數相乘可以完全的寫成兩個平方的差。
例如:
![{\displaystyle 10\times 10=(10+0)\times (10-0)=10^{2}-0^{2}=100-0=100}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60eef08636dff2374fa0ae67383471fbc0e9227d)
![{\displaystyle 9\times 11=(10-1)\times (10+1)=10^{2}-1^{2}=100-1=99}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f23f423533fa77628da7a823b1628eb5610f1f7)
![{\displaystyle 8\times 12=(10-2)\times (10+2)=10^{2}-2^{2}=100-4=96}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37710617517c96eea6efb28f7a2e6568645b441f)
![{\displaystyle 7\times 13=(10-3)\times (10+3)=10^{2}-3^{2}=100-9=91}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f393c34ee82b92d0f614fb2b34426fd57dfab9b0)
一般的,兩個數的乘積等於這兩個數和的平均值的平方減差的平均值的平方。
![{\displaystyle A\times B=\left({\frac {A+B}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {A-B}{2}}\right)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54056d4fd1388638e1962ea7d68363dcefb3e6c6)
在速算時,運用這個關係式,兩個接近的大數的乘法可以轉換成平方的減法。這樣只要記住相對來說比較少的平方數表,就可以快捷地計算乘積。
如果
與
一奇一偶,為了避免出現所謂的「半整數」,可以運用以下技巧:
![{\displaystyle A\times B=A\times (B-1)+A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ee29879668959222d57ee635fa10e816992c2e1)
例子:
![{\displaystyle 27\times 34=(27\times 33)+27=\left(30^{2}-3^{2}\right)+27=900-9+27=918}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae7ea6ae940ecc3942cb4a7d91b308050ef9ab99)