小星形截角十二面體

小星形截角十二面體
類別	星形均勻多面體
對偶多面體	大五角化十二面體
識別
名稱	小星形截角十二面體
參考索引	U58, C74, W97
鮑爾斯縮寫; （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	quit sissid
數學表示法
施萊夫利符號
威佐夫符號; （英語：Wythoff symbol）	2 5 \| 5/3; 2 5/4 \| 5/3
性質
面	24
邊	90
頂點	60
歐拉特徵數	F=24, E=90, V=60 （χ=-6）
組成與佈局
面的種類	12{5}+12{10/3}
頂點圖	5.10/3.10/3
頂點佈局; （英語：Vertex_configuration）	{10/3 10/3 5}
對稱性
對稱群	Ih, [5,3], *532
圖像
	; 5.10/3.10/3; （頂點圖）
	; 大五角化十二面體; （對偶多面體）
	閱; 論; 編;

在幾何學中，小星形截角十二面體是一種星形均勻多面體，由12個五邊形和12個十角星組成^[5]，並且與截角大十二面體拓樸同構^[6]，其對偶多面體為大五角化十二面體。^[7]

性質

小星形截角十二面體是一種星形均勻多面體，共有24個面、90條邊和60個頂點^[2]，歐拉示性數為-6^[8]，並且具有二十面體群對稱性^[9]。在小星形截角十二面體的60個頂點中每個頂點都是兩個十角星和一個五邊形的公共頂點，在頂點圖中，其可以用{10/3, 10/3, 5}來表示^[1]^[10]^[8]，由於每個頂點對應的角都是三面角、且等角，因此小星形截角十二面體也可以算是一種等角多面體^[11]。

面的組成

小星形截角十二面體由24個面組成，在24個面中有12個面有5條邊組成、另外12個面由十條邊組成^[12]。而這12個由十條邊組成的多邊性全部都是星形多邊形，即十角星^[12]。

構成小星形截角十二面體的五邊形面	構成小星形截角十二面體的十角星面	構成小星形截角十二面體的面在頂點周圍的排佈

二面角

小星形截角十二面體有兩種稜，一種是2個十角星的公共稜，其對應的二面角角度約為116.56度、另一種是十角星和五邊形的公共稜，其對應的二面角角度約為63.42度^[13]。

小星形截角十二面體中，2個十角星的公共稜對應到的二面角角度為五分之負的五的平方根之反餘弦值^[13]，其等價於負的五的平方根的倒數之反餘弦值^[6]：

\cos ^{-1}\left(-{\frac {\sqrt {5}}{5}}\right)\approx 2.03444394\approx 116.565051^{\circ }

小星形截角十二面體中，十角星和五邊形的公共稜對應到的二面角角度為五分之五的平方根之反餘弦值^[13]，其等價於正五的平方根的倒數之反餘弦值^[6]：

\cos ^{-1}{\frac {\sqrt {5}}{5}}\approx 1.10714872\approx 63.4349488^{\circ }

歷史

最早列出小星形截角十二面體的文獻是在考克斯特、朗格·希金斯與米勒的論文《均勻多面體》中^[14]，其中列出了非常多的均勻多面體。後來在1993年時，齊夫·哈爾提出了一個能計算生成各均勻多面體的演算法，使得小星形截角十二面體能更容易地被視覺化。^[8]

參見

均勻多面體列表（英語：List of uniform polyhedra）

參考文獻

^ ^1.0 ^1.1 Roman E. Maeder. 58: small stellated truncated dodecahedron. Math Consult AG. 1995 [2019-09-27]. （原始內容存檔於2018-05-02）.
^ ^2.0 ^2.1 Paul Bourke. Uniform Polyhedra (80). Math Consult AG. October 2004 [2019-09-27]. （原始內容存檔於2013-09-02）.
^ George W. Hart. Uniform Polyhedra --- List. 1996 [2019-09-27]. （原始內容存檔於2018-09-19）.
^ Sam Gratrix. Uniform Polyhedra Summary. [2019-09-27]. （原始內容存檔於2019-07-03）.
^ Andrew Weimholt. 18. Quit Sissid, Polyhedron Category 2: Truncates. polytope.net. [2019-10-05]. （原始內容存檔於2018-07-02）.
^ ^6.0 ^6.1 ^6.2 ^6.3 ^6.4 Richard Klitzing. small stellated truncated dodecahedron. bendwavy.org. [2019-09-27]. （原始內容存檔於2019-09-27）.
^ Weisstein, Eric W. (編). Small Stellated Truncated Dodecahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.
^ ^8.0 ^8.1 ^8.2 Har'El, Zvi. Uniform solution for uniform polyhedra (PDF). Geometriae Dedicata (Springer). 1993, 47 (1): 57––110 [2019-09-27]. （原始內容存檔 (PDF)於2018-06-19）.
^ Sam Gratrix. small stellated truncated dodecahedron. [2019-10-05]. （原始內容存檔於2008-12-04）.
^ Raffi J. Kasparian. Introducing the Kasparian Solids. quantimegroup.com. [2019-09-27]. （原始內容存檔於2018-08-31）.
^ Jean Paul Albert Badoureau. Mémoire sur les Figures Isocèles. Journal de l'École polytechnique. 1881, 49: 47–172.
^ ^12.0 ^12.1 V. Bulatov. small stellated truncated dodecahedronn. bulatov.org. 2009 [2019-10-05]. （原始內容存檔於2017-10-11）.
^ ^13.0 ^13.1 ^13.2 David I. McCooey. Self-Intersecting Truncated Regular Polyhedra: Small Stellated Truncated Dodecahedron. dmccooey.com. 2015 [2019-10-05]. （原始內容存檔於2018-04-20）.
^ Coxeter, Harold Scott MacDonald; Longuet-Higgins, M. S.; Miller, J. C. P. Uniform polyhedra (PDF). Philosophical Transactions of the Royal Society A. 1954, 246 (916): 401–450 [2019-09-27]. ISSN 0080-4614. JSTOR 91532. MR 0062446. doi:10.1098/rsta.1954.0003. （原始內容存檔 (PDF)於2017-12-01）.
^ Jim McNeill. Petrie Expanded Truncated Polyhedra. orchidpalms.com. [2019-09-27]. （原始內容存檔於2018-09-25）.
^ Dr. Richard Klitzing. tigid, Polytopes & their Incidence Matrices. bendwavy.org. [2019-10-05]. （原始內容存檔於2019-09-27）.
^ Richard Klitzing. small dodekicosidodecahedron. bendwavy.org. [2019-10-30]. （原始內容存檔於2019-10-30）.
^ Richard Klitzing. small rhombidodecahedron. bendwavy.org. [2019-10-30]. （原始內容存檔於2019-10-30）.

外部連結

埃里克·韋斯坦因. 小星形截角十二面體. MathWorld.

[Roman_E._Maeder._1995-1] 1.0 ^1.1 Roman E. Maeder. 58: small stellated truncated dodecahedron. Math Consult AG. 1995 [2019-09-27]. （原始內容存檔於2018-05-02）.

[Paul_Bourke._2004-2] 2.0 ^2.1 Paul Bourke. Uniform Polyhedra (80). Math Consult AG. October 2004 [2019-09-27]. （原始內容存檔於2013-09-02）.

[George_W._Hart_Uniform_Polyhedra-3] George W. Hart. Uniform Polyhedra --- List. 1996 [2019-09-27]. （原始內容存檔於2018-09-19）.

[4] Sam Gratrix. Uniform Polyhedra Summary. [2019-09-27]. （原始內容存檔於2019-07-03）.

[7] Andrew Weimholt. 18. Quit Sissid, Polyhedron Category 2: Truncates. polytope.net. [2019-10-05]. （原始內容存檔於2018-07-02）.

[Richard_Klitzing._2004-8] 6.0 ^6.1 ^6.2 ^6.3 ^6.4 Richard Klitzing. small stellated truncated dodecahedron. bendwavy.org. [2019-09-27]. （原始內容存檔於2019-09-27）.

[9] Weisstein, Eric W. (編). Small Stellated Truncated Dodecahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.

[article_har1993uniform-10] 8.0 ^8.1 ^8.2 Har'El, Zvi. Uniform solution for uniform polyhedra (PDF). Geometriae Dedicata (Springer). 1993, 47 (1): 57––110 [2019-09-27]. （原始內容存檔 (PDF)於2018-06-19）.

[11] Sam Gratrix. small stellated truncated dodecahedron. [2019-10-05]. （原始內容存檔於2008-12-04）.

[12] Raffi J. Kasparian. Introducing the Kasparian Solids. quantimegroup.com. [2019-09-27]. （原始內容存檔於2018-08-31）.

[13] Jean Paul Albert Badoureau. Mémoire sur les Figures Isocèles. Journal de l'École polytechnique. 1881, 49: 47–172.

[bulatov.org-14] 12.0 ^12.1 V. Bulatov. small stellated truncated dodecahedronn. bulatov.org. 2009 [2019-10-05]. （原始內容存檔於2017-10-11）.

[dmccooey_SmallStellatedTruncatedDodecahedron-15] 13.0 ^13.1 ^13.2 David I. McCooey. Self-Intersecting Truncated Regular Polyhedra: Small Stellated Truncated Dodecahedron. dmccooey.com. 2015 [2019-10-05]. （原始內容存檔於2018-04-20）.

[16] Coxeter, Harold Scott MacDonald; Longuet-Higgins, M. S.; Miller, J. C. P. Uniform polyhedra (PDF). Philosophical Transactions of the Royal Society A. 1954, 246 (916): 401–450 [2019-09-27]. ISSN 0080-4614. JSTOR 91532. MR 0062446. doi:10.1098/rsta.1954.0003. （原始內容存檔 (PDF)於2017-12-01）.

[17] Jim McNeill. Petrie Expanded Truncated Polyhedra. orchidpalms.com. [2019-09-27]. （原始內容存檔於2018-09-25）.

[tigid-18] Dr. Richard Klitzing. tigid, Polytopes & their Incidence Matrices. bendwavy.org. [2019-10-05]. （原始內容存檔於2019-09-27）.

[Richard_Klitzing._2004_saddid-19] Richard Klitzing. small dodekicosidodecahedron. bendwavy.org. [2019-10-30]. （原始內容存檔於2019-10-30）.

[Richard_Klitzing._2004_sird-20] Richard Klitzing. small rhombidodecahedron. bendwavy.org. [2019-10-30]. （原始內容存檔於2019-10-30）.

[4]

[3]

[1]

[2]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

小斜方截半二十面體	小十二面截半二十面體	小斜方十二面體
小星形截角十二面體	六複合五角星柱（英語：Compound of six pentagrammic prisms）	十二複合五角星柱（英語：Compound of twelve pentagrammic prisms）

閱論編均勻多面體
四面體群對稱	正四面體截角四面體四面半六面體
八面體群對稱	立方體正八面體截角立方體截角八面體截半立方體小斜方截半立方體大斜方截半立方體扭棱立方體八面半八面體立方半八面體小斜方立方體小立方立方八面體非凸大斜方截半立方體星形截角立方體大斜方立方體大立方截半立方體立方截角立方八面體星形截角截半立方體
二十面體群對稱	正十二面體正二十面體小星形十二面體大十二面體大星形十二面體大二十面體截角十二面體截半二十面體截角二十面體小斜方截半二十面體大斜方截半二十面體扭棱十二面體大雙三斜三十二面體小十二面半十二面體大十二面半十二面體小十二面半二十面體大十二面半二十面體小二十面半十二面體大二十面半十二面體小十二面二十面體大十二面二十面體斜方二十面體小斜方十二面體大斜方十二面體小十二面截半二十面體大十二面截半二十面體小雙三角十二面截半二十面體大雙三角十二面截半二十面體小二十面化截半二十面體大二十面化截半二十面體雙三斜十二面體小雙三斜三十二面體大截半二十面體截角大十二面體截半大十二面體小星形截角十二面體大星形截角十二面體截角大二十面體斜方截半大十二面體非凸大斜方截半二十面體二十面截角十二面十二面體二十面化截半大十二面體截角截半大十二面體大截角截半二十面體大二重斜方截半二十面體大二重扭稜二重斜方十二面體完全扭稜二十面體小反屈扭稜二十面截半二十面體大反屈扭稜截半二十面體扭稜小星形十二面體反扭稜小星形十二面體扭稜大星形十二面體反扭稜大星形十二面體大扭稜十二面截半二十面體扭稜二十面化截半大十二面體
其他	柱狀均勻多面體星形均勻多面體

性質

面的組成

二面角

歷史

相關多面體

參見

參考文獻

外部連結