希欽系統

數學中，希欽可積系統是奈傑爾·希欽 (1987)提出的一類可積系統，取決於復約化群與緊黎曼曲面的選擇。希欽系統是代數幾何、李群理論和可積系統理論的交叉，通過共形場論，還在複數域上的幾何朗蘭茲對應中發揮重要作用。

希欽系統的0虧格類似物是卡尼爾可積系統，是勒內·卡尼爾發現的Schlesinger方程的某個極限，通過定義譜曲線解決了他的系統（卡尼爾系統是高丹模型的經典極限。Schlesinger方程是克尼日尼克–扎莫洛奇科夫方程的經典極限）。

幾乎所有經典力學的可積系統都可作為希欽系統或Bottacin & Markman (1994)的通用推廣的特例。

描述

用代數幾何的語言來說，系統的相空間是某緊代數曲線上，餘切叢到某約化群G的穩定G叢的模空間的部分緊化。這個空間被賦予了規範辛形式。簡單起見，假設 $G=\mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )$ 是一般線性群，則哈密頓量可以描述如下：G叢的模空間在叢F處的切空間是

H^{1}(\operatorname {End} (F)),

根據塞雷對偶性，對偶於

\Phi \in H^{0}(\operatorname {End} (F)\otimes K),

其中K是規範叢，於是

(F,\Phi )

稱作希欽對或希格斯叢，定義了餘切叢中的點。取

\operatorname {Tr} (\Phi ^{k}),\qquad k=1,\ldots ,\operatorname {rank} (G)

就可得

H^{0}(K^{\otimes k})

中的元素，這是個不依賴於 $(F,\Phi )$ 的向量空間。因此，在這些向量空間中任取基，就能得到函數 $H_{i}$ ，這就是希欽哈密頓量。一般約化群的構造與此類似，用的是G的李代數上的不變多項式。

由於平凡的原因，這些函數在代數上是獨立的，一些計算表明它們的數量恰是相空間維數的一半。非平凡部分是證明函數的泊松交換性。因此，它們定義了辛或劉維爾–阿諾德定理意義上的可積系統。

希欽纖維化是從希欽對的模空間到特徵多項式的映射，是卡尼爾用於定義譜曲線的映射的高虧格類似物。Ngô （2006, 2010）在證明朗蘭茲綱領基本引理時使用了有限域上的希欽纖維化。