度量張量

度量張量（英語：Metric tensor）在黎曼幾何裏面又叫黎曼度量，物理學譯為度規張量，是指一用來衡量度量空間中距離，面積及角度的二階張量。

內容

當選定一個局部坐標系統$x^{i}$，度量張量為二階張量一般表示為 $\textstyle \mathrm {d} s^{2}=\sum _{ij}g_{ij}\mathrm {d} x^{i}\mathrm {d} x^{j}$，也可以用矩陣 $(g_{ij})$ 表示，記作為G或g。而 $g_{ij}$ 記號傳統地表示度量張量的協變分量（亦為「矩陣元素」）。

$a$ 到 $b$ 的弧線長度定義如下，其中參數定為t，t由a到b:

$L=\int _{a}^{b}{\sqrt {\sum _{ij}g_{ij}{\mathrm {d} x^{i} \over \mathrm {d} t}{\mathrm {d} x^{j} \over \mathrm {d} t}}}\mathrm {d} t$

兩個切向量的夾角 $\theta$,設向量 $\textstyle U=\sum _{i}u^{i}{\partial \over \partial x_{i}}$ 和 $\textstyle V=\sum _{i}v^{i}{\partial \over \partial x_{i}}$，定義為：

$\cos \theta ={\frac {\langle u,v\rangle }{|u||v|}}={\frac {\sum _{ij}g_{ij}u^{i}v^{j}}{\sqrt {\left|\sum _{ij}g_{ij}u^{i}u^{j}\right|\left|\sum _{ij}g_{ij}v^{i}v^{j}\right|}}}$

若 $f$ 為$\mathbb {R} ^{n}$ 到 $\mathbb {R} ^{n}$ 的局部微分同胚，其誘導出的度量張量的矩陣形式 $G$，由以下方程式計算得出：

$G=J^{T}J$

$J$ 表示 $f$ 的雅可比矩陣，它的轉置為 $J^{T}$。著名例子有 $\mathbb {R} ^{2}$ 之間從極座標系 $(r,\theta )$ 到直角座標 $(x,y)$ 的座標變換，在這例子裏有：

$x=r\cos \theta$

$y=r\sin \theta$

這映射的雅可比矩陣為

$J={\begin{bmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &r\cos \theta \end{bmatrix}}.$

所以

$G=(g_{ij})=J^{\mathrm {T} }J={\begin{bmatrix}\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta &-r\sin \theta \cos \theta +r\sin \theta \cos \theta \\-r\cos \theta \sin \theta +r\cos \theta \sin \theta &r^{2}\sin ^{2}\theta +r^{2}\cos ^{2}\theta \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&r^{2}\end{bmatrix}}\$

這跟微積分裏極座標的黎曼度量, $\mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \theta ^{2}$，一致。

例子

歐幾里德幾何度量

二維歐幾里德度量張量：

$(g_{ij})={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$

弧線長度轉為熟悉微積分方程式：

$L=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left({\frac {\mathrm {d} x^{1}}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} x^{2}}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}}}\mathrm {d} t$

在其他坐標系統的歐氏度量：

極坐標系：$(x^{1},x^{2})=(r,\theta )$

$(g_{ij})={\begin{bmatrix}1&0\\0&(x^{1})^{2}\end{bmatrix}}$

圓柱坐標系：$(x^{1},x^{2},x^{3})=(r,\theta ,z)$

$(g_{ij})={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&(x^{1})^{2}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$

球坐標系：$(x^{1},x^{2},x^{3})=(r,\phi ,\theta )$

$(g_{ij})={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&(x^{1})^{2}&0\\0&0&(x^{1}\sin x^{2})^{2}\end{bmatrix}}$

平坦的閔考斯基空間 (狹義相對論)：$(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(ct,x,y,z)\,$

$(g_{\mu \nu })=(\eta _{\mu \nu })\equiv {\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}$

在一些習慣中，與上面相反地，時間ct的度規分量取正號而空間 (x,y,z)的度規分量取負號，故矩陣表示為：

$(g_{\mu \nu })=(\eta _{\mu \nu })\equiv {\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}$

參看

• 偽黎曼度量