微分幾何

三角形沉浸在一個鞍形面（一個雙曲拋物面）上，以及兩條發散的超平行線。

微分幾何研究微分流形的幾何性質，是現代數學中的一主流研究方向，也是廣義相對論的基礎，與拓撲學、代數幾何及理論物理關係密切。

古典微分幾何起源於微積分，主要內容為曲線論和曲面論。歐拉、蒙日和高斯被公認為古典微分幾何的奠基人。近代微分幾何的創始人是黎曼，他在1854年創立了黎曼幾何（實際上黎曼提出的是芬斯勒幾何），這成為了近代微分幾何的主要內容，並在相對論有極為重要的作用。埃利·嘉當和陳省身等人曾在微分幾何領域做出極為傑出的貢獻。

內在對外在

從一開始到19世紀中葉，微分幾何是從外在觀點來進行研究的：曲線和曲面是被放在更高維度的歐幾里得空間中來考慮的（譬如曲面被放在三維的背景空間中）。其中的最簡單的成果就是曲線微分幾何中的結果。內在觀點開始於黎曼的工作，在那裏因為幾何對象被認為是獨立的給出的，所以不能說移到外面來考慮這個對象。

內在的觀點更加靈活，例如在相對論中時空不能很自然的用外在形式表示。但用內在的觀點，曲率和聯絡這樣的結構比較難定義一些，所以採用內在的觀點也不是沒有代價的。

這兩種觀點也是可以融通的，即外在幾何可以被看作是附加於內在幾何上的結構。（見納什嵌入定理）

技術要求

微分幾何的工具也就是流形上的微積分：包括對於流形，切叢，餘切叢，微分形式，外微分，$p$-形式在$p$維子流形上的積分以及斯托克斯定理，楔積，和李導數的研究。這些都和多變量微積分相關；但對於幾何上的應用來講，必須發展一種在某種意義上和特定坐標系無關的方法。微分幾何的特殊概念可以說是那些體現幾何本質的二階導數：曲率的很多表現方式。

可微流形是一個拓撲空間，它有一個開覆蓋，其中的每個開集同胚於$R^{n}$中的一個開單位球。並且，如果$f$,$g$是其中兩個同胚映射，則函數$f^{-1}\circ g$無限可微。我們稱一個函數無限可微，如果它和每個同胚的複合是從開球到$R$的無限可微函數。

在流形的每一點，有一個該點的切空間，它由每個從該點離開進行運動的所有可能的速度（方向和大小）所組成。對一個n維流形，每點的切空間是一個n維向量空間，或者說是一個Rⁿ。切空間有多種定義。其中一個是作為所有在該點取值為0的函數組成的線性空間的對偶空間，除以 所有取值為0並且一階導數為0的函數空間（所得到的余空間）。導數為0可以定義為「和任何可微的從實數到該流形的函數的複合的導數為0」，因而只需要用到可微性。

向量場是從流形到它的切空間的併集（切叢）的函數，在每一點所取的值是該點的切空間的一個元素。這樣的映射稱為纖維叢的截面。 向量場可微，如果該向量場應用到每個可微函數都得到一個可微函數。向量場可以看作是時不變的微分方程組。從實數到流形的可微函數是流形上的曲線。這給了一個從實數到切空間的函數：曲線上每點的速度。一條曲線稱為一個向量場的一個解，如果曲線每點的速度和向量場在該點的值相等。

交錯k維線性形式是向量空間V的對偶空間V^*的反對稱k階向量積的一個元素。k微分形式就是在流形的每一點選取一個這樣的交錯k形式--V在這裏就是該點的切空間。如果它作用在k個可微向量場上的結果是流形上的一個可微函數，則稱它可微。體積形式是維數和流形相同的微分形式。

分支

• 黎曼幾何

黎曼幾何以黎曼流形為主要研究對象— 有額外結構的光滑流形，他們因此無窮小得看起來像歐幾里得空間。這使得歐幾里得幾何的諸如函數的梯度，散度，曲線的長度等概念得到了推廣；而無須假設空間整體上有這麼對稱。

• 復幾何

研究的對象是複流形。這是一類有着可積的近復結構的微分流形。因為非奇異的復代數簇自然的是複流形，因此與復代數幾何有着緊密的聯繫。

• 辛幾何

這是研究辛流形的學科。一個辛流形是帶有辛形式（也就是，一個閉的非退化2-形式）的微分流形。

• 切觸幾何

這是辛幾何在奇數維上的對應物。大致來說，在(2n+1)微流形上的切觸結構是一個1-形式$\alpha$使得$\alpha \wedge (d\alpha )^{n}$處處非退化。

• 芬斯勒幾何

芬斯勒幾何以芬斯勒流形為主要研究對象— 這是一個有芬斯勒度量的微分流形，也就是切空間被賦予了巴拿赫範數。芬斯勒度量是比黎曼度量一般得多的結構。

外部連結

• A Modern Course on Curves and Surface, Richard S Palais, 2003
• Richard Palais's 3DXM Surfaces Gallery

參考書目

1. Michael Spivak (1999)， A Comprehensive Introduction to Differential Geometry，(5 Volumes),3rd Edition.
2. Manfredo Do Carmo (1976), Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice Hall.
3. Manfredo Perdigao do Carmo, Francis Flaherty (1994), Riemannian Geometry.
4. John McCleary (1994), Geometry from a Differentiable Viewpoint
5. Ethan D. Bloch (1996), A First Course in Geometric Topology and Differential Geometry
6. Alfred Gray (1998), Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed.