有界函數

有界函數（紅色）和無界函數（藍色）的示意圖。可以看到，有界函數的圖形保持在（虛線）水平帶內，而無界函數的圖形不保持在水平帶內。

在數學中，如果在某個集合$X$上定義的具有實數或複數值的某個函數$f$的值域是有界集合，則函數$f$被稱為有界的（或有界函數）。換句話說，存在實數$M>0$，使得對於集合$X$中的所有$x$，都有$|f(x)|\leq M$。有時，如果對於集合$X$中的所有$x$，都有$f(x)\leq A$，則函數$f$稱為上有界的，$A$就是它的一個上界；如果對於集合$X$中的所有$x$，都有$f(x)\geq B$，則函數稱為下有界的，$B$就是它的一個下界。

一個特例是有界數列，其中$X$是所有自然數所組成的集合$\mathbb {N}$。所以，一個數列$f=(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )$ 是有界的，如果存在一個數$M>0$，使得對於所有的自然數$n$，都有$\left\vert a_{n}\right\vert \leq M$。

例子

• 由$f(x)=\sin x$所定義的函數$f:R\rightarrow R$是有界的。如果正弦函數是定義在所有複數的集合上，則不再是有界的。
• 函數$f(x)={\frac {1}{x^{2}-1}}$（$x$不等於−1或1）是無界的。當$x$越來越接近−1或1時，函數的值就變得越來越大。但是，如果把函數的定義域限制為$[2,\infty )$，則函數就是有界的。

• 函數$f(x)={\frac {1}{x^{2}+1}}$是有界的。

• 任何一個連續函數$f:[0,1]\rightarrow R$都是有界的。
• 狄利克雷函數：當$x$是有理數時，函數的值是0，而當$x$是無理數時，函數的值是1。這個函數是有界的。有界函數並不一定是連續的。

參見

• 有界集合
• 支撐集
• 一致有界