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無窮星形多面體

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無窮星形多面體是指部分頂點落在無窮實射影平面上的星形多面體。通常若一個多面體有部分的面通過整體幾何中心，則其對偶多面體將會變為無窮星形多面體。所有半多面體的對偶多面體都是無窮星形多面體。無窮星形多面體的概念由溫尼爾在其著作《對偶模型》中提出，並提出了一種使用無限高、雙向延伸的柱體組合來具象化這類立體。[1]

具象化

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由於無窮星形多面體有部分的頂點落在無窮實射影平面[1]，因此，一般來說，這樣的立體難以被具象化[2]。為了具像化這種立體，溫尼爾在著作《對偶模型》中將其描述為由無限高的柱體組合構成的立體，在這樣的視覺化方式下，無窮星形多面體的外觀會根據其幾何特性由多個無限高的角柱構成[1]，同時每個柱體都會雙向延伸到相同的無窮遠點，以保持整體的對稱性[3]。這種模型雖然在理論上有些缺陷，但已足以作為一種具像化的方式。[4]2017年，保羅·蓋柳納斯（Paul Gailiunas）提出了一種將無窮星形多面體具象化為有限大小幾何結構的具象化方式，其使用曲線的方式來表達無窮星形多面體的拓樸結構。[5]

種類

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無窮星形多面體通常是部分的面通過整體幾何中心的立體對應的對偶多面體。溫尼爾在其著作《對偶模型》中提出了幾種類型，包括了擬正半多面體的對偶多面體，以及一些多面體的無窮星形化體。[6]

擬正半多面體對偶

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擬正半多面體一共有九種[6]，但他們的對偶多面體若依照溫尼爾其著作《對偶模型》中提出的具象化方式僅有五種形狀，其中八面半八面體的對偶多面體與立方半八面體的對偶多面體形狀在外觀上無法區別[7][8]；小二十面半十二面體的對偶多面體與小十二面半十二面體的對偶多面體形狀在外觀上也無法區別[9][10]；大十二面半十二面體的對偶多面體與大二十面半十二面體的對偶多面體形狀在外觀上也無法區別[11][12]；大十二面半二十面體的對偶多面體與小十二面半二十面體的對偶多面體形狀在外觀上亦無法區別[13][14][6]。

四面半六面體的對偶多面體
四面半無窮星形六面體 		八面半八面體的對偶多面體
八面半無窮星形八面體 		立方半八面體的對偶多面體
立方半無窮星形八面體 		小二十面半十二面體的對偶多面體
小二十面半無窮星形十二面體（英語：Small icosihemidodecacron） 		小十二面半十二面體的對偶多面體
小十二面半無窮星形十二面體（英語：Small dodecahemidodecacron） 		大二十面半十二面體的對偶多面體
大二十面半無窮星形十二面體（英語：Great icosihemidodecacron） 		大十二面半十二面體的對偶多面體
大十二面半無窮星形十二面體（英語：Great dodecahemidodecacron） 		小十二面半二十面體的對偶多面體
小十二面半無窮星形二十面體（英語：Small dodecahemicosacron） 		大十二面半二十面體的對偶多面體
大十二面半無窮星形二十面體（英語：Great dodecahemicosacron）
3個互相相交的無限高四角柱 4個互相相交的無限高六角柱 6個互相相交的無限高十角柱 6個互相相交的無限高十角星柱（英語：Decagrammic prism） 10個互相相交的無限高六角柱

列表

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無窮星形多面體 組成 對應的立體 向外
凸出結構
數量 		面數 邊數 頂點數 對偶多面體
3個互相相交的無限高四角柱 四面半無窮星形六面體 6 6 12 7 四面半六面體
4個互相相交的無限高六角柱 八面半無窮星形八面體 8 12 24 12 八面半八面體
立方半無窮星形八面體 10 立方半八面體
6個互相相交的無限高十角柱 小二十面半無窮星形十二面體（英語：Small icosihemidodecacron） 12 30 60 26 小二十面半十二面體
小十二面半無窮星形十二面體（英語：Small dodecahemidodecacron） 18 小十二面半十二面體
6個互相相交的無限高十角星柱（英語：Decagrammic prism） 大二十面半無窮星形十二面體（英語：Great icosihemidodecacron） 12 30 60 26 大二十面半十二面體
大十二面半無窮星形十二面體（英語：Great dodecahemidodecacron） 18 大十二面半十二面體
10個互相相交的無限高六角柱 小十二面半無窮星形二十面體（英語：Small dodecahemicosacron） 20 30 60 22 小十二面半二十面體
大十二面半無窮星形二十面體（英語：Great dodecahemicosacron） 大十二面半二十面體
6個互相相交的無限高菱形柱 半刻面立方體的對偶多面體 12 8 24 12 半刻面立方體
10個互相相交的無限高三角柱 正二十面體的無窮三角化多面體 20 60 90 32 －
30個互相相交的無限高菱形柱 Hj2星形二十面體[15][16] 60 20 120 60 五複合半刻面立方體
15個互相相交的無限高四角柱 四面半無窮星形六面體的五複合體 30 30 60 35 五複合四面半六面體
五複合立方體的無窮星形化體[1]:115 70 －
30個互相相交的無限高八角星柱
（每個八角星柱實為兩個四角柱的複合體） 		大二重斜方截半二十面無窮星形六十面體（英語：Great dirhombicosidodecacron）[1]:139 60 60 240 124 大二重斜方截半二十面體[1]:139
大二重扭稜二重斜方十二面無窮星形六十面體（維基數據所列：Q18048492） 204 大二重扭稜二重斜方十二面體

參考文獻

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  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 Wenninger, Magnus, Dual Models, Cambridge University Press, 2003 [1983], ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208, doi:10.1017/CBO9780511569371 
  2. ^ Vladimir Bulatov. Dual Uniform Polyhedra. Polyhedra Collection, bulatov.org. [2021-10-28]. （原始內容存檔於2021-10-28）. 
  3. ^ Inchbald, Guy. Tidy dodecahedra and icosahedra. Jms. 29 July 2004, 30: 30 [2021-07-24]. （原始內容存檔於2021-06-08）. 
  4. ^ Inchbald, Guy. Stellation and facetting - a brief history. steelpillow.com. 2010-12-19 [2016-03-26]. （原始內容存檔於2016-03-04）. 
  5. ^ Gailiunas, Paul, Finite Representations of Infinite Dual Polyhedra (PDF), people.tamu.edu, [2021-08-19], （原始內容存檔 (PDF)於2021-08-19） 
  6. ^ 6.0 6.1 6.2 Wenninger, Dual Models, 2003[1], Page 101, Duals of the (nine) hemipolyhedra
  7. ^ Weisstein, Eric W. (編). Octahemioctacron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）. 
  8. ^ Weisstein, Eric W. (編). Hexahemioctacron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）. 
  9. ^ Weisstein, Eric W. (編). Small Icosihemidodecacron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）. 
  10. ^ Weisstein, Eric W. (編). Small Dodecahemidodecacron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）. 
  11. ^ Weisstein, Eric W. (編). Great Icosihemidodecacron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）. 
  12. ^ Weisstein, Eric W. (編). Great Dodecahemidodecacron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）. 
  13. ^ Weisstein, Eric W. (編). Small Dodecahemicosacron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）. 
  14. ^ Weisstein, Eric W. (編). Great Dodecahemicosacron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）. 
  15. ^ Inchbald, Guy. Some lost stellations of the icosahedron. steelpillow. 2006-07-11 [2016-09-01]. （原始內容存檔於2016-03-13）. 
  16. ^ G. Inchbald, In search of the lost icosahedra, Math. Gaz. 86 (July 2002) pp. 208-215.
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