在數學中,瑞利商(英語:Rayleigh quotient)定義為:[1][2]
![{\displaystyle R(M,x)={x^{*}Mx \over x^{*}x}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50c6f0656cf02c152ae9a877912aa83c7ee10a85)
式中,
為復埃爾米特矩陣,
為非零向量。對實矩陣和向量,對矩陣的埃爾米特矩陣要求退化為對稱矩陣,對向量的共軛轉置退化為轉置。
對所有非零純量
成立。
埃爾米特矩陣(或實對稱矩陣)只具有實特徵值且可對角化,由此,對於給定矩陣,其瑞利商達到最小值λ(
的最小特徵值)當
為
(最小特徵值對應的特徵向量);類似的:
,
。[2]
瑞利商使用最小最大定理(min-max theorem)獲得所有特徵值的精確值。它還用於特徵值算法(如瑞利商迭代),從特徵向量近似值中獲得特徵值近似值。
在量子力學中,瑞利商給出了狀態為
的系統中算子
觀測值的期望值。
埃爾米特矩陣M的界[編輯]
對於任意向量
,其瑞利商滿足
,其中
分別代表矩陣
的最小特徵值和最大特徵值。觀察定義可知,矩陣
的瑞利商等價於其特徵值的加權和:
![{\displaystyle R(M,x)={x^{*}Mx \over x^{*}x}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}y_{i}^{2}}{\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4473f85e19bf0680172d59f5d08cf5ee3815e03)
其中
![{\displaystyle (\lambda _{i},v_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/022d25d594d24b831659df4fadd5ed158caf1533)
是第
![{\displaystyle i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20)
個歸一化後的特徵值-特徵向量對,
![{\displaystyle y_{i}=v_{i}^{*}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18728e644692e0294a773a1253d8e38459771125)
是
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
在特徵基中的第
![{\displaystyle i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20)
個坐標。可以驗證,當
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
為矩陣
![{\displaystyle M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd)
最小(最大)特徵值對應的特徵向量
![{\displaystyle v_{\min }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/486623019ef451e0582b874018e0249a46e0f996)
(
![{\displaystyle v_{\max }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bf002e9839f290d34c839c00894e5ceaa6a9f5f)
)時,
![{\displaystyle R(M,x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8ed067bb4bc06662d6bdf6210d450779a529ce5)
取值達到其下(上)界。
參考文獻[編輯]