在線性代數中,范德蒙矩陣的命名來自亞歷山大‑泰奧菲爾·范德蒙的名字,范德蒙矩陣是一個各列呈現出幾何級數關係的矩陣,例如:
![{\displaystyle V={\begin{bmatrix}1&\alpha _{1}&\alpha _{1}^{2}&\dots &\alpha _{1}^{n-1}\\1&\alpha _{2}&\alpha _{2}^{2}&\dots &\alpha _{2}^{n-1}\\1&\alpha _{3}&\alpha _{3}^{2}&\dots &\alpha _{3}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&\alpha _{m}&\alpha _{m}^{2}&\dots &\alpha _{m}^{n-1}\\\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8f4302012c92aae6005095ab7c03aed1409e0f3)
或以第i行第j列的關係寫作:
![{\displaystyle V_{i,j}=\alpha _{i}^{j-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10e94f4bf8e9b5ad4a074ddf241a58a051015e89)
(部分作者將上述矩陣寫成轉置後的形式,也就是一整排的 1 不列在左邊,而是列在上面。)
n階范德蒙矩陣的行列式可以表示為:
![{\displaystyle \det(V)=\prod _{1\leq i<j\leq n}(\alpha _{j}-\alpha _{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/077c12708ade7b6c9e75926c1d95dd6c1bc99e78)
當
各不相同時,
不為零。
上述的行列式又稱作判別式。
以行列式的萊布尼茨公式表示
![{\displaystyle \det(V)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,\alpha _{1}^{\sigma (1)-1}\cdots \alpha _{n}^{\sigma (n)-1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e46a0af623f3771c259fb8c1a8f6f3d58ab8bca)
可以把公式改寫為
![{\displaystyle \prod _{1\leq i<j\leq n}(\alpha _{j}-\alpha _{i})=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,\alpha _{1}^{\sigma (1)-1}\cdots \alpha _{n}^{\sigma (n)-1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aefdec71c9d5b476b5c4985cde5459002a37b1a7)
Sn 指的是 {1, 2, ..., n} 的排列集,sgn(σ) 指的是排列 σ 的奇偶性。
若 m≤n,則矩陣 V 有最大的秩 rank (m)。