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超前波也被稱為超前勢​​，超前場和超前解。超前勢這個詞通常應用於涉及麥克斯韋方程式的電磁場理論中。超前波和超前場通常應用於量子物理學，因此不僅涉及麥克斯韋方程組，而且涉及薛定諤方程式，狄拉克方程式和克萊因 - 戈登方程式。當我們求解一個方程式時，經常使用超前解，例如麥克斯韋方程式。超前波是從當前時間發送到過去時間的波。超前波與從當前時間發送到未來時間的滯後波或不同。超前波違反了我們傳統的因果關係。然而，許多物理學家，包括[阿爾伯-特愛因斯坦]，約翰阿奇博爾德-惠勒 理查德-費曼和約翰-克拉默認為超前波或超前場是物理學中的真實現象。有兩種理論支持超前波，一種來自量子物理學的出版物，另一種來自經典電磁場理論。

超前波

點源在1D空間內的超前波

在1D空間中，比如波導管中, 如果源的密度為

$f({\boldsymbol {r}}_{0},t)$

此處 ${\boldsymbol {r}}_{0}$ 是波的震動源的位置. $t$ 是時間.

超前波可以被表示為下列形式,

$f({\boldsymbol {r}}_{0},t_{a})$

此處${\boldsymbol {r}}$ 遠處一點且

$t_{a}=t+{\frac {||{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{0}||}{c}}$

此處 $c$ 是速度比如光速。此處允許波在靠近其震動源的附近區域與上述形式不同，但至少在遠場區域，波應如上所述表示。

在3D真空中點波源的超前波

在3D真空中，假定在$r_{0}$處有一個點波源 , 其震動源的方程式為，

$f({\boldsymbol {r}}_{0},t)$

此處${\boldsymbol {r}}_{0}$是源的位置。 $t$是時間。超前波可被描述為下列形式，

${\frac {1}{||{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{0}||}}f({\boldsymbol {r}}_{0},t_{a})$

此處${\boldsymbol {r}}$是遠處一個點

$t_{a}=t+{\frac {||{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{0}||}{c}}$

其中$c$是速度例如光速。 此處允許波在靠近震源的附近區域與上述形式不同，但至少在遠場區域，波應如上所述。超前波是從當前時間到過去的波，而滯後的波則從當前時間延伸到未來。如果源不是點源，則可以通過對所有點源的超前波的疊加原理而得

支持超前波的基本理論

麥克斯韋方程式

麥克斯韋方程式有兩個解，一種是滯後勢，另一種是超前勢。 因此，麥克斯韋方程式支持超前波。

韋伯電動力學

韋伯電動力學比麥克斯韋方程式更早。 韋伯電動力學不排斥超前波並支持作用原理。

狄拉克方程式

狄拉克方程式支持滯後波和超前波。

Klein-Gordon方程式

Klein-Gordon方程式有兩個解，一個是滯後解，另一個是超前解。

薛定諤方程式

薛定諤方程式只有一個滯後解。 但是很容易為它們提供一個超前解，這就是滯後滯的復共軛函數。

在量子物理中支持超前波的理論

超距作用（Action-at-a-distance）

「超距作用」的理論是由 （K. Schwarzschild） （H. Tetrode） （A.D. Fokker） 引入的。 根據這個理論，電流會產生兩個電磁勢或兩個電磁波：一個是滯後波，另一個是超前波。 發射體可以發送滯後波，但同時它也發送一個超前波。 吸波體可以發送超前波，但同時它也會發出滯後波。 根據這個理論，如果太陽獨自留在空間裏，太陽是不可能發出輻射波的。 無限多個吸收體是太陽能輻射其光的原因。 這個作用量可以寫成如下，

$S=-\sum _{i}m_{i}c\int ({\frac {dx_{i\mu }}{d\tau _{i}}}{\frac {dx_{i}^{\mu }}{d\tau _{i}}})^{\frac {1}{2}}d\tau _{i}-\sum _{i}\sum _{j<i}{\frac {e_{i}e_{j}}{c}}\int \int \delta (s_{ij}^{2}){\frac {dx_{i\mu }}{d\tau _{i}}}{\frac {dx_{j}^{\mu }}{d\tau _{j}}}d\tau _{i}d\tau _{j}=\mathrm {extremum}$

此處

$s_{ij}^{2}=(x_{i\mu }-x_{j\mu })(x_{i}^{\mu }-x_{j}^{\mu })$

$ds=c^{2}dt^{2}-dx_{1}^{2}-dx_{2}^{2}-dx_{3}^{2}$

Ritz-愛因斯坦辯論

和阿爾伯特-愛因斯坦於1909年就時間不對稱的宏觀現象進行了辯論。 Ritz認為，這種時間不對稱的宏觀現象是基於基本的物理規律。 因此，物理學中只允許遲滯波，物理學中禁止超前波。 在辯論中，愛因斯坦認為這種時間不對稱的宏觀現象是基於統計。 因此，對於微觀現象來說，仍然可能是時間對稱的，這意味着在物理學中允許滯後波和超前波。

（Walter Ritz and Albert Einstein）.

Dirac理論

狄拉克引入經典的電磁場方法來計算減速或加速電子的自力。 在這種方法中，牽涉到滯後勢和超前勢的差異。 （P. A. M. Dirac）

吸收體理論

吸收體理論由Wheeler和Feynman介紹 （J. A. Wheeler） （J. A. Wheeler）. 吸收體理論是建築在超距作用 （A.D. Fokker） （K. Schwarzschild） （H. Tetrode） 理論之上的。 根據這個理論，電磁場沒有自己的自由度。 電磁場是輔助場。 它是至少兩個電荷之間的作用或反作用的記錄。 這意味着如果沒有測試電荷或吸收體，只有發射體不能產生輻射。 吸收體理論試圖對在空間中加速或減速電荷的反衝力提供一個更好的解釋。 Dirac引入了反衝作用（ P。 A. Dirac） 但Wheeler和Feynman不滿足於Dirac沒有提供反衝作用公式的合理理由。 惠勒和費曼嘗試使用停留在無限大的球體上的吸收體來解釋狄拉克給出的公式。 吸收體理論還強調吸收體在輻射過程中的重要性。

量子力學的交易詮釋

John Cramer介紹的量子力學的交易詮釋 (John Cramer) 交易詮釋建立在Wheeler-Feynman吸收器理論的基礎之上。 在這個理論中，發射體可以向吸收體發送提供波，當吸收體接收到提供波時，它可以向發射器發送確認波。 這兩波可以握手。 這個握手過程是交易過程。 在這個過程中，會產生光子或其他粒子。 提供波是滯後波，確認波是超前波。

惠勒延遲選擇實驗

惠勒的延遲選擇試驗在1978 - 1984年間推出。 在此30年前惠勒引入吸波體理論，他支持超前波的存在。 惠勒的延遲選擇實驗可以看作是他超前波理論的結果。 因此，惠勒推遲選擇實驗支持（或至少不拒絕）超前波的概念。 這個實驗的建議很快被證明是真實的。

延遲選擇量子擦除實驗

延遲選擇量子擦除實驗是惠勒的延遲選擇實驗之後的一個實驗。 它可以被看作是對超前波的另一種見證（或者至少不拒絕）。

關於超前波的教程

勞倫斯M.斯蒂芬森出版了關於超前勢的書 (Lawrence M. Stephenson), 這是很容易閱讀，可以作為超前波知識的教程。

經典電磁場中的理論中涉及超前波

任意時域中的互易理論

這一理論由W.J.Welch在1960年提出 （W. J. Welch）. 該定理可以在下面看到，

$-\int _{t=-\infty }^{\infty }\int _{V1}\mathbf {E} _{2}(t)\cdot \mathbf {J} _{1}(t)dVdt=\int _{t=-\infty }^{\infty }\int _{V2}\mathbf {E} _{1}(t)\cdot \mathbf {J} _{2}(t)dVdt$

為了證明上述公式，需要證明表面積分消失。 該表面在無限大的球體上。 無限大球表面積分消失的證明需要兩個波一個是滯後波，另一個是超前波。

新的互易定理

V.H.Rumsey介紹了他將勞侖茲互易定理總結為「作用與反作用」。 他將復共軛變換應用於他的「作用與反作用」理論，並獲得了新的互惠理論 （V.H. Rumsey）,

$-\int _{V1}\mathbf {E} _{2}^{*}(\omega )\cdot \mathbf {J} _{1}(\omega )dVdt=\int _{V2}\mathbf {E} _{1}(\omega )\cdot \mathbf {J} _{2}^{*}(\omega )dV$

封閉表面上電磁場的內積空間

趙雙任為任何兩個電磁場定義了內積： (赵双任),

$(\xi _{1},\xi _{2})_{\Gamma }=\oint _{\Gamma }(\mathbf {E} _{1}(\omega )\times \mathbf {H} _{2}^{*}(\omega )+\mathbf {E} _{2}^{*}(\omega )\times \mathbf {H} _{1}(\omega ))\cdot {\hat {n}}d\Gamma$

此處$\xi =[{\boldsymbol {E}},{\boldsymbol {H}}]$, $\tau =[{\boldsymbol {J}},{\boldsymbol {K}}]$, 趙雙任證明 以上內積，滿足內積空間 3個定義。 如果將$\tau _{2}$，將電流${\boldsymbol {J}}_{2}$或${\boldsymbol {K}}_{2}$的單位向量，則場$\xi _{1}$可以在原來的源${\boldsymbol {J}}_{1}$或表面$\Gamma$上進行計算。 $\Gamma$是$V_{1}$和$V_{2}$之間的任意曲面，$\Gamma$可以是完整曲面或無限大開去面例如飛機。 ${\hat {n}}$是單位表面法線向量。 趙雙任證明了這種 內積滿足[內積空間]的三個條件，

• 共軛對稱性：

$(\xi _{1},\xi _{2})=(\xi _{2},\xi _{1})^{*}$

• 對第一個元素的線性:

${\begin{aligned}(a\xi _{1},\xi _{2})&=a(\xi _{1},\xi _{2})\\(\xi _{1}+\xi _{2},\xi _{3})&=(\xi _{1},\xi _{3})+(\xi _{2},\xi _{3})\end{aligned}}$

• 正定性：

${\begin{aligned}(\xi ,\xi )&\geq 0\\(\xi ,\xi )&=0\Leftrightarrow x=\mathbf {0} \,.\end{aligned}}$

根據這個理論，如果兩個波的源都在表面$\Gamma$內部，且一個產生滯後波另一個產生超前波，那麼該內積就為零， 即，

$(\xi _{1},\xi _{2})_{\Gamma }=0$

此處 $\tau _{1},\tau _{2}\in V$ 是場 $\xi _{1},\xi _{2}$的源。 $\Gamma$ 是$V$的外表面。

互能定理

趙雙任在1987年上半年介紹了互能原理 (赵双任) 。 趙雙任強調互能定理是一個能量定理，而不是某種互易定理。 該定理描述了空間中的能量。 這個定理可以被看作是惠更斯－菲涅耳原理 (赵双任), 它可寫成如下形式，

$-(\tau _{1},\xi _{2})_{V_{1}}=(\xi _{1},\xi _{2})_{\Gamma }=(\xi _{1},\tau _{2})_{V_{2}}$

此處

$(\xi _{1},\xi _{2})_{\Gamma }=\oint _{\Gamma }(\mathbf {E} _{1}(\omega )\times \mathbf {H} _{2}^{*}(\omega )+\mathbf {E} _{2}^{*}(\omega )\times \mathbf {H} _{1}(\omega ))\cdot {\hat {n}}d\Gamma$

$\Gamma$是分隔$V_{1}$和$V_{2}$的任何關閉曲面或無限大曲面。 此處取${\hat {n}}$的方向是從$V_{1}$到$V_{2}$。

$(\tau _{1},\xi _{2})_{V_{1}}=\int _{V1}({\boldsymbol {J}}_{1}(\omega )\cdot {\boldsymbol {E}}_{2}^{*}(\omega )+{\boldsymbol {K}}_{1}(\omega )\cdot {\boldsymbol {H}}_{2}^{*}(\omega ))dV$

$(\xi _{1},\tau _{2})_{V_{2}}=\int _{V2}({\boldsymbol {E}}_{1}(\omega )\cdot {\boldsymbol {J}}_{2}^{*}(\omega )+{\boldsymbol {H}}_{1}(\omega )\cdot {\boldsymbol {K}}_{2}^{*}(\omega ))dV$

時域互相關互易定理

Adrianus T. de Hoop在1987年底發表了時域互相關互易定理 （Adrianus T. de Hoop） which can be seen as following,

$-\int _{t=-\infty }^{\infty }\int _{V2}\mathbf {E} _{2}(t+\tau )\cdot \mathbf {J} _{1}(t)dVdt=\int _{t=-\infty }^{\infty }\int _{V1}\mathbf {E} _{1}(t)\cdot \mathbf {J} _{2}(t+\tau )dVdt$

被遺忘的第二個洛侖茲互易定理

I.V.Petrusenko在2009年介紹了被遺忘的第二個洛侖茲互易定理 （I. V. Petrusenko）.。這些定理多次被重新發現，這表明它們非常重要。

這些定理之間的關係

不難證明互能定理（赵双任）和時域互相關定理（ Adrianus T. de Hoop）是通過傅立葉變換連接的相同定理，一個是在傅立葉頻域，另一個是時域。互能量定理的方法類似於 （V.H.Rumsey） 任意時域中的互惠理論（W. J. Welch）是一個特殊情況，其中$\tau =0$的時域互相關定理（Adrianus T. de Hoop） 被遺忘的第二洛侖茲互易定理（ I. V. Petrusenko）也與（V.H. Rumsey）因此，所有上述定理都可以看作一個定理。相同的數學公式有兩個主要的應用（1）作為互易性用來從發射天線的方向圖中找出接收天線的方向圖，在這種情況下這個公式可以稱為互易定理; （2）發現發射天線與接收天線之間的能量傳遞，則相同的公式可以稱為互能量定理。

共軛變換

目前還不清楚是誰首先引入了共軛變換的概念，但共軛變換的細節理論可以在其中找到 （Jin Au Kong）. 重要的是，如果一個場滿足麥克斯韋方程組，在共軛變換之後， 它仍然滿足麥克斯韋方程組。 如果原始場是滯後波，則變換後變成超前波。 反之，如果原來的場是超前的波，變換後成為滯後波。

$\mathbf {\mathbb {C} } (\mathbf {E} (t),\mathbf {H} (t),\mathbf {J} (t),\mathbf {K} (t),\mathbf {\boldsymbol {\epsilon }} (t),\mathbf {\boldsymbol {\mu }} (t))=(\mathbf {E} (-t),-\mathbf {H} (-t),-\mathbf {J} (-t),\mathbf {K} (-t),\mathbf {\boldsymbol {\epsilon }} (-t),{\boldsymbol {\mathbf {\mu } }}(-t))$

或

$\mathbf {\mathbb {C} } (\mathbf {E} (\omega ),\mathbf {H} (\omega ),\mathbf {J} (\omega ),\mathbf {K} (\omega ),\mathbf {\boldsymbol {\epsilon }} (\omega ),\mathbf {\boldsymbol {\mu }} (\omega ))=(\mathbf {E} ^{*}(\omega ),-\mathbf {H^{*}} (\omega ),-\mathbf {J^{*}} (\omega ),\mathbf {K} ^{*}(\omega ),\mathbf {\boldsymbol {\epsilon ^{*}}} (\omega ),{\boldsymbol {\mathbf {\mu ^{*}} }}(\omega ))$

此處 $\mathbf {\mathbb {C} }$ 共額變換。 $\mathbf {E}$ 電場. $\mathbf {H}$ 是磁場。 $\mathbf {J}$ 是電流密度. $\mathbf {K}$ 是磁流密度。 $\mathbf {\boldsymbol {\epsilon }}$ 是 電容率, $\mathbf {\boldsymbol {\mu }}$ 是 磁導率, $t$ 是時間, $\omega$ 是頻率.

洛侖茲互易定理

在洛侖茲互易定理中，

$\int _{V_{2}}{\boldsymbol {E}}_{2}(\omega )\cdot {\boldsymbol {J}}_{1}(\omega )dVdt=\int _{V_{2}}{\boldsymbol {E}}_{1}(\omega )\cdot {\boldsymbol {J}}_{2}(\omega )dV$

所有的場都滯後勢。 然而，共軛變換可以應用於互易定理內的兩個場之一。 在這種情況下，兩個場成為一個滯後場一個超前場。 因此，洛侖茲互易定理與共軛變換一起等於互能量定理（赵双任）或時域互相關互易定理 （Adrianus T. de Hoop）。 因此，勞侖茲互易定理可以寫成如下，

$-(\tau _{1},\mathbf {\mathbb {C} } \xi _{2})_{V_{1}}=(\xi _{1},\mathbf {\mathbb {C} } \tau _{2})_{V_{2}}$

實際上互能定理（赵双任） Rumsey的新互易定理（V.H. Rumsey）是通過將共軛變換應用於勞侖茲互易定理而得出的。 應該指出的是，即使互能定理可以用勞侖茲互易定理通過使用共軛變換得到，互能定理也是一個與勞侖茲互易定理相關的獨立定理。 原因在於共軛變換不是象傅立葉變換那樣的數學變換，而是依據麥克斯韋方程式的物理變換。 另一個原因是共軛變換改變後的場。超前的波變換後成為滯後波，滯後波成為超前波。

洛侖茲互易定理與互能定理/時域互相關定理的區別

在洛侖茲互易定理中，兩個場都是滯後場。 在互能定理或互相關時域互易定理中，兩個場是一個是從發射天線發出的滯後波，另一個是從接收天線發出的超前波。

互能定理或時域互相關互易定理可以是能量定理。 它描述了兩個天線的能量關係。 勞侖茲互易定理是一個數學定理，它是互能定理/時域互相關定理的共軛變換。

球面波展開和平面波展開

互能量定理的電磁場內積空間 （赵双任） (赵双任) 可以被用來進行波的展開，例如球面波展開（赵双任） 和平面波展開(赵双任).. 滯後波和超前波都可以進行球面或者平面波展開。