均勻收斂

均勻收斂，或稱一致收斂，（英語：Uniform convergence），是數學中關於函數序列收斂的一種定義。其概念大致可想成：若函數序列 f_n 均勻收斂至函數 f，代表對所有定義域中的點 x，f_n(x) 收斂至 f(x) 會有（大致）相同的收斂速度。由於它對收斂要求較逐點收斂更強，故能保持一些重要的分析性質，例如連續性、黎曼可積性。

定義

當函數序列中的函數的對應域是 $\mathbb {R}$ 或 $\mathbb {C}$ 時，此時均勻收歛的定義為：

讓 $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 是定義在 $S$ 上，對應域為 $\mathbb {R}$ 或 $\mathbb {C}$的一組函數序列，若序列 $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 均勻收歛至函數 $f$ 在集合 $S$ 上，即表示對所有 $\epsilon >0$，存在 $N\in \mathbb {N}$，使得當所有 $n\geq N$ 且 $x\in S$ 時有

$|f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon .$

可將這定義推廣到一般的度量空間：

設 $S$ 為一集合，$(M,d)$ 為度量空間。若對一組函數序列 $f_{n}:S\to M$，存在函數 $f:S\to M$ 滿足 對所有 $\epsilon >0$，存在 $N\in \mathbb {N}$，使得當所有 $n\geq N$ 且 $x\in S$ 時有

$d(f_{n}(x),f(x))<\epsilon ,$

則稱序列 $f_{n}$ 均勻收斂到 $f$。

注意到，均勻收斂和逐點收斂定義的區別在於，在均勻收斂中 $N$的選取僅與 $\epsilon$ 相關，而在逐點收斂中 $N$ 還多了與點 $x$ 相關。所以均勻收斂必定逐點收斂，而反之則不然。

例子

在[-1,1]上均勻收斂到絕對值函數的多項式序列

例子一：對任何$[0,1]$上的連續函數$f$，考慮多項式序列

$P_{n}(x):=\sum _{k=0}^{n}f\left({\frac {k}{n}}\right){n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}$

可證明$P_{n}$在區間$[0,1]$上均勻收斂到函數$f$。其中的$b_{k,n}(x):={n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}$稱為伯恩斯坦多項式。

透過坐標的平移與縮放，可知在任何閉區間上都能用多項式一致地逼近連續函數，這是斯通-維爾斯特拉斯定理的一個建構性證明。

逐點收斂而非均勻收斂的例子

例子二：考慮區間$[0,\pi ]$上的函數序列$f_{n}(x):=\sin ^{n}(x)$，它逐點收斂到函數

$f(x)={\begin{cases}0&,x\neq \pi /2\\1&,x=\pi /2\end{cases}}$

然而這並非均勻收斂。直觀地想像：當$x$愈靠近$\pi /2$，使$f_{n}(x)$接近$0$所需的$n$便愈大。可以依此想法循定義直接證明，也可以利用下節關於連續的性質證明，因為在此例中$f_{n}(x)$皆連續，而$f(x)$不連續。

性質

讓 $(f_{n})$ 為一組函數序列，對應域為 $\mathbb {R}$ 或 $\mathbb {C}$，此時有下述性質：

• 連續性：若函數序列 $(f_{n})$ 均勻收歛至函數 $f$，則有：

1. 假設函數序列的定義域是閉包（closure）集合 $I$，且 $a$ 是 $I$ 的中的一點。若每個 $f_{n}$ 都在 $a$ 點連續，則 $f$ 也在 $a$ 點連續。
2. 若對集合 $I$ 的每個緊緻子集 $J$，每個 $f_{n}$ 都在 $J$ 上連續，則 $f$ 在 $I$ 上連續。

• 與積分的交換：令 $(f_{n})$ 為定義在緊緻區間 $I$ 的函數序列，且序列 $(f_{n})$ 均勻收歛至函數 $f$。若每個 $f_{n}$ 都是黎曼可積，則 $f$ 也是黎曼可積，而且

$\lim _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\mathrm {d} x=\int _{S}f\,\mathrm {d} x.\quad \quad$

• 與微分的交換：可微函數序列 $(f_{n})$ 均勻收歛至函數 $f$，並不能保證 $f$ 是可微的，還需要對該函數序列的微分，$(f'_{n})$，做些限制，請參看以下定理：

讓 $(f_{n})$ 為定義在閉區間 $[a,b]$ 的可微函數序列，且存在一點 $x_{0}\in [a,b]$ 使得極限 $\lim _{n\to \infty }f_{n}(x_{0})$ 存在（且有限）。若序列的微分 $(f'_{n})$ 在區間 $[a,b]$ 均勻收斂到函數 $g$，則序列 $(f_{n})$ 均勻收歛至函數 $f$ 且 $f$ 亦是可微函數，且有：

$f'=g=\lim _{n\to \infty }f'_{n}$。

文獻

• Konrad Knopp, Theory and Application of Infinite Series; Blackie and Son, London, 1954, reprinted by Dover Publications, ISBN 0-486-66165-2.
• G.H. Hardy, Sir George Stokes and the concept of uniform convergence; Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 19, pp. 148-156（1918）
• Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology. Chapters 5-10（Paperback）; ISBN 0-387-19374-X