投射維度、內射維度與同調維度(又稱整體維度)是交換代數中考慮的重要不變量。
以下設
為交換環,而
為
-模。
的內射維度
定義為其內射分解的最短長度(當
時置
)。投射維度
則定義為其投射分解的最短長度。
利用同調代數的工具,可以進一步得到下述刻劃:
命題一. 設
為整數,下述條件等價:
。
- 對所有
-模
,有
。
- 對所有理想
,有
。
- 對所有正合序列
,若每個
都是內射模,則
也是內射模。
命題二. 設
為整數,下述條件等價:
。
- 對所有
-模
,有
。
- 對所有正合序列
,若每個
都是投射模,則
也是投射模。
當
為諾特環而
為有限生成
-模時,上述條件更等價於
- 對所有極大理想
,有 ![{\displaystyle \mathrm {Ext} _{A}^{n+1}(M,A/{\mathfrak {m}})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/389a560e2d91c7a06e482c932288c25f23700e34)
- 對所有極大理想
,有 ![{\displaystyle \mathrm {Tor} _{n+1}^{A}(M,A/{\mathfrak {m}})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c04e2cf962373f93f05a588a0458ef83c8a63a3)
由此可定義環
的同調維度
為:
![{\displaystyle \sup _{M}\;\mathrm {pd} _{A}(M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/168ff105404e127f724949ee96db26e1ec15290a)
![{\displaystyle \sup _{M}\;\mathrm {id} _{A}(M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ea37640ba1cf8f81d0d0365c5d518828e53a87b)
- 存在
-模
使得
的最大整數
(可能是無窮大)。
內射維度、投射維度與同調維度對局部化有下述關係:
![{\displaystyle \mathrm {id} _{A}(M)=\sup _{\mathfrak {p}}\;\mathrm {id} _{A_{\mathfrak {p}}}(M_{\mathfrak {p}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d1dc1487170cb2e718ea11cdb11a443e4054eba)
![{\displaystyle \mathrm {pd} _{A}(M)=\sup _{\mathfrak {p}}\;\mathrm {pd} _{A_{\mathfrak {p}}}(M_{\mathfrak {p}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68c91dec2e88ae679b7cfe73f3c1ae04fb69c2d3)
其中的
取遍
的所有素理想(或極大理想),而投射維度給出
的上半連續函數。事實上,僅須考慮
的支撐集中的素理想。
由此立刻得到
。
此外,它們與模的深度也有密切的關係,例如:
定理 (Auslander-Buchsbaum):設
為局部諾特環,
為有限生成
-模,而且其投射維度有限,則
![{\displaystyle \mathrm {pd} _{A}(M)+\mathrm {depth} _{A}(M)=\mathrm {depth} (A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4e91aa7be40a106f0f03b25a829400f2b372472)
定理:設
為局部諾特環,
為有限生成
-模,而且其內射維度有限,則
![{\displaystyle \mathrm {id} _{A}(M)=\mathrm {depth} (A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0edd3f13c70b7c992a0a01cb033b71891fec501)
最後,同調維度為正則局部環給出了一個完全內在的刻劃:
定理(Serre):一個局部諾特環
是正則局部環的充要條件是
,此時
。