大數假說

保羅·狄拉克

狄拉克大數假說（英語：Dirac large numbers hypothesis，縮寫：LNH）是由英國物理學家保羅·狄拉克在1937年提出的一個假設。他比較了兩個不帶因次的量值：基本作用力（在此為重力與電磁力）的比例與宇宙年齡的尺度，發現兩者皆落在約40個數量級。狄拉克猜測這可能並非巧合，兩者或許存在某種關聯性。基於這個假設，他設計了一個宇宙學的模型。

這個模型具有以下的特質：

• 重力常數反比於宇宙的年齡：$G\propto 1/t\,$
• 宇宙帶有的質量正比於宇宙年齡的平方：$M\propto t^{2}$

然而這兩個性質並不為目前主流的宇宙學理論所接受。

發展背景

狄拉克並非唯一一位注意到這種量值巧合的人。 對這類巧合的關注始於1919年，赫爾曼·外爾推測宇宙的半徑會等同於一個帶有電子重力自能量（self-energy）的粒子半徑：

${\frac {r_{H}}{r_{e}}}\approx 10^{42}\approx {\frac {R_{U}}{r_{e}}}$，

$r_{e}={\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}m_{e}c^{2}}}$，

$r_{H}={\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}m_{H}c^{2}}}$，

$m_{H}c^{2}={\frac {Gm_{e}^{2}}{r_{e}}}$

其中 $r_{e}$ 代表經典電子半徑，$m_{e}$ 為電子質量，$m_{H}$ 為假想粒子的質量，$r_{H}$ 則為其半徑， $R_{U}$ 是可觀測宇宙的半徑。

這個理論被亞瑟·愛丁頓（1931年）繼續推廣，連結了宇宙中估計帶電粒子的數量 $N$ ：

${\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}Gm_{e}^{2}}}\approx {\sqrt {N}}\approx 10^{42}$.

除了外爾和愛丁頓之外，喬治·勒梅特1933年在劍橋提出的觀點也影響了狄拉克。而隨時間改變的重力常數 $G$ 這個概念最早來自於愛德華·亞瑟·米爾恩的構想，比狄拉克的大數假說還要早上幾年。這個構想並非起於這類的大數巧合，而是源自於要打造一個不同於愛因斯坦的廣義相對論。對米爾恩而言，空間單純只是參考系統而並非一個結構。依照他的觀點，愛因斯坦的結論可以改寫為以下的式子：

$G=\left({\frac {c^{3}}{M_{U}}}\right)t$

當中 $M_{U}$ 是整個宇宙的質量，$t$ 是以秒計算的宇宙年齡。根據這個關係，$G$ 會隨時間增大。

狄拉克對大數巧合的詮釋

外爾與愛丁頓的比值可以用不同的方式作表示，例如：

${\frac {ct}{r_{e}}}\approx 10^{40}$，

當中 t 為宇宙年齡，$c$ 為光速，r_e 為經典電子半徑。如果用原子單位把 $c$ 和 r_e 定為1，則宇宙的年齡約為10⁴⁰ 個原子時間單位。這跟一個電子與質子間電磁力和重力的比值落在相同的數量級：

${\frac {4\pi \epsilon _{0}Gm_{p}m_{e}}{e^{2}}}\approx 10^{-40}$

將電子電荷 $e$、電子質量、電子/質子質量 $m_{p}$/$m_{e}$、介電常數因子 $4\pi \epsilon _{0}$ 以原子單位（等於1）表示，則重力常數約為10⁻⁴⁰。狄拉克解釋說這代表重力常數 $G$ 和時間成反比：$G\approx 1/t\,$。根據廣義相對論， $G$ 必須為定值，否則能量不守恆。為解決這個問題，狄拉克將愛因斯坦方程式引入了一個規範方程式 β ，用來在原子單位下描述時空結構。另外，狄拉克作了大數假說中另外一個重要的假設：宇宙中不斷地產生新的物質。

新的物質由以下其中一種方法產生：

• 附加生成：新的物質從空間中均勻產生。
• 倍數生成：新的物質伴隨原有的物質產生。

參考資料

• P.A.M. Dirac. A New Basis for Cosmology. Proceedings of the Royal Society of London A. 1938, 165 (921): 199–208. Bibcode:1938RSPSA.165..199D. doi:10.1098/rspa.1938.0053. 
• P.A.M. Dirac. The Cosmological Constants. Nature. 1937, 139 (3512): 323. Bibcode:1937Natur.139..323D. doi:10.1038/139323a0. 
• P.A.M. Dirac. Cosmological Models and the Large Numbers Hypothesis. Proceedings of the Royal Society of London A. 1974, 338 (1615): 439–446. Bibcode:1974RSPSA.338..439D. doi:10.1098/rspa.1974.0095. 

外部連結

• 紀錄影片：狄拉克談論大數假說
• 狄拉克演講完整講稿
• Cheng-Gang Shao, Jianyong Shen, Bin Wang: Dirac Cosmology and the Acceleration of the Contemporary Universe（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• Saibal Ray, Utpal Mukhopadhyay, Partha Pratim Ghosh: Large Number Hypothesis: A Review（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• gr-qc/0111034 Guillermo A. Mena Marugan, Saulo Carneiro: Holography and the large number hypothesis（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• Robert Matthews: Dirac's coincidences sixty years on
• The Mysterious Eddington-Dirac Number（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• A. Unzicker: A Look at the Abandoned Contributions to Cosmology of Dirac, Sciama and Dicke (arxiv:0708.3518)（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）