實數完備性

直觀上，實數完備性（英語：Completeness of the real numbers）意味着實數軸上（以理查德·戴德金的說法）沒有「間隙」。這是實數區別於有理數的特點，有理數在數軸上是有間隙的，即無理數。在十進制計數法下，實數的完備性等價於：實數與一個十進制小數表示一一對應。

實數的完備性公理有一組等價命題，完備性的定義方式與實數的構造方式相關。在確立其中之一為公理後，其餘皆為完備性公理的等價定理。

等價命題

實數完備性可以用以下任意一個等價定理作為出發點。以下從最小上界定理出發，來證明其他等價命題。

最小上界性

主條目：最小上界性

又稱為上確界定理（Theorem of Least-Upper-Bound, 簡稱LUB），也就是

定理 — 集合 $A\subset \mathbb {R}$ 且 $A\neq \varnothing$ ，若 $A$ 存在 $d\in \mathbb {R}$ ，使得：

「對所有的 $a\in A$ ， $a\leq d$ 」（稱 $d$ 為 $A\subset \mathbb {R}$ 的一個上界）

則存在 $s\in \mathbb {R}$ 使得：

「 $s$ 為 $A$ 的一個上界 」且 「對所有 $r\in \mathbb {R}$ ，只要 $r$ 為 $A$ 的一個上界，則 $s\leq r$ 」

也就是說，實數非空子集有上界，則它有最小上界。其證明請參見實數的構造。

柯西收斂準則

主條目：柯西收斂準則

設 $\{s_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ 是實數柯西序列。設 S 為這樣一個集合，其中每個實數只大於序列 $\{s_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ 中的有限個成員。$\forall \varepsilon \in \mathbb {R} ^{+}$，設 $N\in \mathbb {N} ^{+}$ 使得 $\forall n,m\geq N$， $|s_{n}-s_{m}|<\varepsilon$。於是這個序列在區間 $(s_{N}-\varepsilon ,s_{N}+\varepsilon )$ 裏出現無限多次，而且只在它的補集裏最多出現有限次。這意味着 $s_{N}-\varepsilon \in$ S， 因此 S$\not =\emptyset$。另外 $s_{N}+\varepsilon$ 是 S 的上界。於是通過 LUB 公理，可以設 b 是 S 的最小上界，而且 $s_{N}-\varepsilon \leq b\leq s_{N}+\varepsilon$ 。由三角不等式，當 n>N 時成立時 $d(s_{n},b)\leq d(s_{n},s_{N})+d(s_{N},b)\leq \varepsilon +\varepsilon =2\varepsilon$。所以 $s_{n}\longrightarrow b$ 。

滿足柯西收斂準則的度量空間稱為完備空間，若取函數 $d$ 為

$d=\left\{(a,\,b){\bigg |}(a,\,b\in \mathbb {R} )\wedge (b=|a|)\right\}$

可以驗證 $(\mathbb {R} ,\,d)$ 為一度量空間，這樣本節的結果也可以重新敘述為「實數系 $\mathbb {R}$ 有最小上界定理等價於 $(\mathbb {R} ,\,d)$ 為完備空間。」

區間套原理

主條目：區間套

定理聲稱對於任一的有界閉區間套I_n（例如I_n = [a_n, b_n]並滿足a_n ≤ b_n），它們的交集I_n非空，且為閉區間$[\lim _{n\to \infty }a_{n},\lim _{n\to \infty }b_{n}]$；特別地，假若$\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}-b_{n}=0$，則它們的交集J為一個包含且僅包含$\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}$的單點集。

單調有界定理

主條目：單調收斂定理

如果a_k是一個單調的實數序列（例如a_k ≤ a_k+1），則這個序列具有有限極限，當且僅當序列是有界的。證明可以通過利用LUB公理來完成。

聚點定理

主條目：波爾查諾-魏爾施特拉斯定理

波爾查諾-魏爾施特拉斯定理（英語：Bolzano–Weierstrass theorem）說明，$\mathbb {R}$中的一個子集$E$是序列緊緻（每個序列都有收斂子序列）當且僅當$E$是有界閉集。更一般地，這個定理對有限維實向量空間$\mathbb {R} ^{n}$亦有效。

參考資料

• Upper and Lower Bounds (including the lub axiom)，Springer's Encyclopedia of Mathematics（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• Apostol, Tom M. "Mathematical analysis." (1964).