對數分佈參數 |
![{\displaystyle 0<p<1\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b206b69e4f73ff0e47e3f92a854bc3659068f39) |
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值域 |
![{\displaystyle k\in \{1,2,3,\dots \}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0410be05d594a63d50d6ef72a9545d88146b0e0b) |
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機率質量函數 |
![{\displaystyle {\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {\;p^{k}}{k}}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c7aac310c07a6a28344fda3d2b7c43d3189d41b) |
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累積分佈函數 |
![{\displaystyle 1+{\frac {\mathrm {B} _{p}(k+1,0)}{\ln(1-p)}}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b456a91ffd598bd00ea2d1a06f61172d4bed29d) |
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期望值 |
![{\displaystyle {\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p}{1-p}}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04d72d670ca3c57832683e275a2c2cb744c2cc63) |
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眾數 |
![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf) |
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變異數 |
![{\displaystyle -p\;{\frac {p+\ln(1-p)}{(1-p)^{2}\,\ln ^{2}(1-p)}}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a81150136d39d614d515ca719d83e4de206fee11) |
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動差母函數 |
![{\displaystyle {\frac {\ln(1-p\,\exp(t))}{\ln(1-p)}}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/895215dd0833d390640a0e20460276e11032e79c) |
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特徵函數 |
![{\displaystyle {\frac {\ln(1-p\,\exp(i\,t))}{\ln(1-p)}}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27280c4472a57fc98cde4c65cfdb662e170a829c) |
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在概率論與統計學中,對數分佈是一種離散概率分佈形式,它也稱為對數級數分佈。
對數分佈是從−ln(1−p)的麥克勞倫級數展開
![{\displaystyle -\ln(1-p)=p+{\frac {p^{2}}{2}}+{\frac {p^{3}}{3}}+\cdots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/151b41df7c7713cf74722bfa195b99380a126dce)
派生出來的,因此
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2409883844df6705a2f66303c493d7116b29d85)
這樣就可以直接導出呈Log(p)分佈的隨機變量在
且
時的概率集聚函數:
![{\displaystyle f(k)={\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f516a37604b70dfd0c891c11ea0939177e0b147d)
由於上面是單位值,所以這個分佈已經進行了歸一化。
累積分佈函數位
![{\displaystyle F(k)=1+{\frac {\mathrm {B} _{p}(k+1,0)}{\ln(1-p)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/912b5ad36f8b9aa651ae840cbce2a2ca0aa4f57c)
其中
是不完全貝塔函數。
羅納德·費雪將這種分佈應用在群體遺傳學上。
- 泊松分佈(also derived from a Maclaurin series)