擴充歐幾里得演算法

擴充歐幾里得演算法（英語：Extended Euclidean algorithm）是歐幾里得演算法（又叫輾轉相除法）的擴充。已知整數a、b，擴充歐幾里得演算法可以在求得a、b的最大公因數的同時，找到整數x、y（其中一個可能是負數），使它們滿足貝祖等式$ax+by=\gcd(a,b)$。如果a是負數，可以把問題轉化成$\left|a\right|(-x)+by=\gcd(|a|,b)$（$\left|a\right|$為a的絕對值），然後令$x'=(-x)$。

在歐幾里得演算法中，我們僅利用了每步帶餘除法所得的餘數。擴充歐幾里得演算法還利用了帶餘除法所得的商，在輾轉相除的同時也能得到貝祖等式中的x、y兩個系數。以擴充歐幾里得演算法求得的系數是滿足貝祖等式的最簡系數。

另外，擴充歐幾里得演算法是一種自驗證演算法，最後一步得到的$s_{i+1}$和$t_{i+1}$（$s_{i+1}$和$t_{i+1}$的含義見下文）乘以$\gcd(a,b)$後恰為$a$和$b$，可以用來驗證計算結果是否正確。

擴充歐幾里得演算法可以用來計算模反元素，求出模反元素是RSA加密演算法中獲得所需公鑰、私鑰的必要步驟。

演算法和舉例

在標準的歐幾里得演算法中，我們記欲求最大公因數的兩個數為$a,b$，第$i$步帶餘除法得到的商為$q_{i}$，餘數為$r_{i+1}$，則歐幾里得演算法可以寫成如下形式：

${\begin{aligned}r_{0}&=a\\r_{1}&=b\\&\,\,\,\vdots \\r_{i+1}&=r_{i-1}-q_{i}r_{i}\quad {\text{且}}\quad 0\leq r_{i+1}<|r_{i}|\\&\,\,\,\vdots \end{aligned}}$

當某步得到的$r_{i+1}=0$時，計算結束。上一步得到的$r_{i}$即為$a,b$的最大公因數。

擴充歐幾里得演算法在$q_{i}$，$r_{i}$的基礎上增加了兩組序列，記作$s_{i}$和$t_{i}$，並令$s_{0}=1$，$s_{1}=0$，$t_{0}=0$，$t_{1}=1$，在歐幾里得演算法每步計算$r_{i+1}=r_{i-1}-q_{i}r_{i}$之外額外計算$s_{i+1}=s_{i-1}-q_{i}s_{i}$和$t_{i+1}=t_{i-1}-q_{i}t_{i}$，亦即：

${\begin{aligned}r_{0}&=a&r_{1}&=b\\s_{0}&=1&s_{1}&=0\\t_{0}&=0&t_{1}&=1\\&\,\,\,\vdots &&\,\,\,\vdots \\r_{i+1}&=r_{i-1}-q_{i}r_{i}&{\text{且}}0&\leq r_{i+1}<|r_{i}|\\s_{i+1}&=s_{i-1}-q_{i}s_{i}\\t_{i+1}&=t_{i-1}-q_{i}t_{i}\\&\,\,\,\vdots \end{aligned}}$

演算法結束條件與歐幾里得演算法一致，也是$r_{i+1}=0$，此時所得的$s_{i}$和$t_{i}$即滿足等式$\gcd(a,b)=r_{i}=as_{i}+bt_{i}$。

下表以$a=240$，$b=46$為例演示了擴充歐幾里得演算法。所得的最大公因數是$2$，所得貝祖等式為$\gcd(240,46)=2=-9*240+47*46$。同時還有自驗證等式$|23|*2=46$和$|-120|*2=240$。

序號 i	商 qi−1	餘數 ri	si	ti
0		240	1	0
1		46	0	1
2	240 ÷ 46 = 5	240 − 5 × 46 = 10	1 − 5 × 0 = 1	0 − 5 × 1 = −5
3	46 ÷ 10 = 4	46 − 4 × 10 = 6	0 − 4 × 1 = −4	1 − 4 × −5 = 21
4	10 ÷ 6 = 1	10 − 1 × 6 = 4	1 − 1 × −4 = 5	−5 − 1 × 21 = −26
5	6 ÷ 4 = 1	6 − 1 × 4 = 2	−4 − 1 × 5 = −9	21 − 1 × −26 = 47
6	4 ÷ 2 = 2	4 − 2 × 2 = 0	5 − 2 × −9 = 23	−26 − 2 × 47 = −120

這個過程也可以用初等變換表示。

${\begin{pmatrix}240&46\\1&0\\0&1\end{pmatrix}}\rightarrow {\begin{pmatrix}10&46\\1&0\\-5&1\end{pmatrix}}\rightarrow {\begin{pmatrix}10&6\\1&-4\\-5&21\end{pmatrix}}\rightarrow {\begin{pmatrix}4&6\\5&-4\\-26&21\end{pmatrix}}\rightarrow {\begin{pmatrix}4&2\\5&-9\\-26&47\end{pmatrix}}$

得到$-9\times 240+47\times 46=2$

證明

由於$0\leq r_{i+1}<|r_{i}|$，$r_{i}$序列是一個遞減序列，所以本演算法可以在有限步內終止。又因為$r_{i+1}=r_{i-1}-r_{i}q_{i}$， $(r_{i-1},r_{i})$和$(r_{i},r_{i+1})$的最大公因數是一樣的，所以最終得到的$r_{k}$是$a$，$b$的最大公因數。

在歐幾里得演算法正確性的基礎上，又對於$a=r_{0}$和$b=r_{1}$有等式$as_{i}+bt_{i}=r_{i}$成立（i = 0 或 1）。這一關係由下列遞推式對所有$i>1$成立：

$r_{i+1}=r_{i-1}-r_{i}q_{i}=(as_{i-1}+bt_{i-1})-(as_{i}+bt_{i})q_{i}=(as_{i-1}-as_{i}q_{i})+(bt_{i-1}-bt_{i}q_{i})=as_{i+1}+bt_{i+1}$

因此$s_{i}$和$t_{i}$滿足貝祖等式，這就證明了擴充歐幾里得演算法的正確性。

實現

以下是擴充歐幾里德演算法的Python實現：

def ext_euclid(a, b):
    old_s, s = 1, 0
    old_t, t = 0, 1
    old_r, r = a, b
    if b == 0:
        return 1, 0, a
    else:
        while(r!=0):
            q = old_r // r
            old_r, r = r, old_r-q*r
            old_s, s = s, old_s-q*s
            old_t, t = t, old_t-q*t
    return old_s, old_t, old_r

擴充歐幾里得演算法C++實現：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int ext_euc(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if (b == 0)
    {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }

    int d = ext_euc(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;

    return d;
}

int main()
{
    int a, b, x, y;
    cin >> a >> b;

    ext_euc(a, b, x, y);
    cout << x << ' ' << y << endl;
    return 0;
}

參考文獻

• Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. 演算法導論, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. Pages 859–861 of section 31.2: Greatest common divisor.
• Christof Paar,Jan Pelzl著 馬小婷 譯. 深入淺出密碼學, 清華大學出版社, ISBN 9787302296096. Pages 151-155 6.3.2 擴充的歐幾里得演算法

外部連結

• Source for the form of the algorithm used to determine the multiplicative inverse in GF(2^8) （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）