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曲率形式

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微分幾何中,曲率形式curvature form)描述了主叢上的聯絡曲率。它可以看作是黎曼幾何中的曲率張量的替代或是推廣。

定義

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G 為一個李群,記 G李代數。設 為一個G-叢。令 表示 E 上一個埃雷斯曼聯絡(它是一個E上的 g-值 1-形式)。

那麼曲率形式就是 E 上的 g-值 2-形式,定義為

這裏 表示標準外導數李括號,而 D 表示外共變導數。或者說

向量叢上的曲率形式

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是一個纖維叢,其結構群G,我們可以在相伴的主 G-叢上重複同樣的定義。

是一個向量叢則我們可以把 看作是 1-形式的矩陣,則上面的公式取如下形式:

其中 楔積。更準確地講,若 分別代表 的分量(所以每個 是一個通常的 1-形式而每個 是一個普通的2-形式),則

例如,黎曼流形切叢,我們有 作為結構群而 是在 中取值的 2-形式(給定標準正交基,可以視為反對稱矩陣)。在這種情況,曲率張量的一種替換表述,也就是在曲率張量的標準表示中,我們有

上式使用了黎曼曲率張量標準記號。

比安基恆等式

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如果 是標架叢上的典範向量值 1-形式,聯絡形式 ω 的撓率 是由結構方程定義的向量值 2-形式:

這裏 D 代表外共變導數

第一比安基恆等式(對於標架叢的有撓率聯絡)取以下形式

第二比安基恆等式對於一般有聯絡的叢成立,並有如下形式

參看

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參考

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  • S.Kobayashi and K.Nomizu, "Foundations of Differential Geometry", Chapters 2 and 3, Vol.I, Wiley-Interscience.