標準正交基
在線性代數中,一個內積空間的正交基(orthogonal basis)是元素兩兩正交的基。稱基中的元素為基向量。假若,一個正交基的基向量的模長都是單位長度1,則稱這正交基為標準正交基或"規範正交基"(Orthonormal basis)。
無論在有限維還是無限維空間中,正交基的概念都是很重要的。在無限維希爾伯特空間中,正交基不再是哈默爾基,也就是說不是每個元素都可以寫成有限個基中元素的線性組合。因此在無限維空間中,正交基應該被更嚴格地定義為由線性無關而且兩兩正交的元素組成、張成的空間是原空間的一個稠密子空間(而不是整個空間)的集合。
注意,在沒有定義內積的空間中,「正交基」一詞是沒有意義的。因此,一個具有正交基的巴拿赫空間,就是一個希爾伯特空間。
例子
[編輯]- 在歐幾里德空間中,集合:{e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1)}組成一個標準正交基。
- 由fn(x) = exp(2πinx)定義的集合:
- {fn : n ∈ Z}組成在復勒貝格空間L2([0,1])上的一個標準正交基。
基本性質
[編輯]B是H上的一個正交基,那麼H中的每個元素x都可以表示成:
當B是標準正交基時,就是:
x的模長表示為:
- .
即使B不是可數的,上面和式里的非零項也只會有可數多個,所以這個表達式仍然是有效的。上式被稱作x的傅立葉展開,詳見傅里葉級數。
若B是H上的一個標準正交基,那麼H「同構」於序列空間l2(B)。因為存在以下H -> l2(B)的雙射Φ,使得對於所有H中的x和y有:
正交基的存在性
[編輯]運用佐恩引理和格拉姆-施密特正交化方法,可以證明每個希爾伯特空間都有基,並且有正交基。同一個空間的正交基的基數必然是相同的。當一個希爾伯特空間有可數個元素組成的正交基,就說這個空間是可分的。
哈默爾基
[編輯]有前面的定義可以知道,在無窮維空間的情況下,正交基不再是一般線性代數的定義下的基。為了區分,把一般線性代數的定義下的基稱為哈默爾基。
在內積空間的實際應用中,哈默爾基甚少出現,因此提到「基」的概念時,一般指的是正交基。