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比值審斂法

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無窮級數
無窮級數

比值審斂法(Ratio test)是判別級數斂散性的一種方法,又稱為達朗貝爾判別法D'Alembert's test[1]

定理

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比值審斂法判斷流程表

為一級數,如果

  • 當ρ<1時級數絕對收斂
  • 當ρ>1時級數發散
  • 當ρ=1時級數可能收斂也可能發散。

證明

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如果,那麼存在一個實數以及一個正整數,滿足,使得當時,總有成立;因此在上述條件下,當為正整數時有,於是根據無窮等比數列求和得出下式絕對收斂:

如果,那麼同樣存在一個正整數,使得當時,總有,求和項的極限不為零,於是級數發散。

而當時,以為例,結果同樣為,但前者發散而後者收斂(後者收斂值為),該例子可以用比較審斂法來審斂。

例子

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收斂

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考慮級數

因此該級數收斂。

發散

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考慮級數

=
=
=
=
=
=

因此該級數發散。

不能確定

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級數

發散,但

而級數

收斂,但

參見

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參考文獻

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  1. ^ 卓里奇, B.A. 数学分析 第7版. ISBN 9787040287554.