| 此條目需要精通或熟悉相關主題的編者參與及協助編輯。 (2012年9月2日) 請邀請適合的人士改善本條目。更多的細節與詳情請參見討論頁。 |
馬爾可夫不等式提供了
超過某特定數值
(圖中標示紅色線處)概率的上界,其上界包括了特定數值
及
的平均值
在概率論中,馬爾可夫不等式(英語:Markov's inequality)給出了隨機變量的函數大於等於某正數的概率的上界。雖然它以俄國數學家安德雷·馬爾可夫命名,但該不等式曾出現在一些更早的文獻中,其中包括馬爾可夫的老師——柴比雪夫。
馬爾可夫不等式把概率關聯到數學期望值,給出了隨機變量的累積分佈函數一個寬泛但仍有用的界。
馬爾可夫不等式的一個應用是,不超過1/5的人口會有超過5倍於人均收入的收入。
表達式[編輯]
X為一非負隨機變量,則
[1]
若用測度領域的術語來表示,馬爾可夫不等式可表示為若(X, Σ, μ)是一個測度空間,ƒ為可測的擴展實數的函數,且
,則
![{\displaystyle \mu (\{x\in X:|f(x)|\geq \varepsilon \})\leq {1 \over \varepsilon }\int _{X}|f|\,d\mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1260ef8657ec62cd972622d35c2c66e38784609a)
有時上述的不等式會被稱為柴比雪夫不等式[2]。
對於單調遞增函數的擴展版本[編輯]
若φ是定義在非負實數上的單調遞增函數,且其值非負,X是一個隨機變量,a ≥ 0,且φ(a) > 0,則
![{\displaystyle \mathbb {P} (|X|\geq a)\leq {\frac {\mathbb {E} (\varphi (|X|))}{\varphi (a)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15b20e7b10afe2a9f9258a028a41732dafb6e920)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\textrm {E}}(X)&=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)dx\\&=\int _{0}^{\infty }xf(x)dx\\[6pt]&\geqslant \int _{a}^{\infty }xf(x)dx\\[6pt]&\geqslant \int _{a}^{\infty }af(x)dx\\[6pt]&=a\int _{a}^{\infty }f(x)dx\\[6pt]&=a{\textrm {P}}(X\geqslant a).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27b03d34b63d29e079d1e13099e481013f7f1a35)
用來推導柴比雪夫不等式[編輯]
柴比雪夫不等式使用方差來作為一隨機變量超過平均值概率的上限,可以用下式表示:
![{\displaystyle \Pr(|X-{\textrm {E}}(X)|\geq a)\leq {\frac {{\textrm {Var}}(X)}{a^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9e911ccf10c1613960a02462b1de70ee8ff51f8)
對任意a>0,Var(X)為X的方差,定義如下:
![{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} [(X-\operatorname {E} (X))^{2}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71c7a116967cab98cb1eb56e626497e77ce354a2)
若以馬爾可夫不等式為基礎,柴比雪夫不等式可視為考慮以下隨機變量
![{\displaystyle (X-\operatorname {E} (X))^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06ec980c7bdfd9176226f9c2549bfa6bde2d1e1d)
根據馬爾可夫不等式,可得到以下的結果
![{\displaystyle \Pr((X-\operatorname {E} (X))^{2}\geq a^{2})\leq {\frac {\operatorname {Var} (X)}{a^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40116d9e8d6d3c382905125b8eb6dc975aece6d3)
矩陣形式的馬爾可夫不等式[編輯]
令
為自共軛矩陣形式的隨機變量,且
,則
![{\displaystyle \Pr(M\npreceq a\cdot I)\leq {\frac {\mathrm {tr} \left(E(M)\right)}{a}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/108f999b006565d4b1e9a8d347632b63921b6b2d)
應用實例[編輯]
- 馬爾可夫不等式可用來證明柴比雪夫不等式。
- 馬爾可夫不等式可用來證明一個非負的隨機變量,其平均值
和中位數
滿足
的關係。
參考資料[編輯]
- ^ Sheldon M Ross. Introduction to probability and statistics for engineers and scientists. Academic Press. 2009: 第127頁. ISBN 9780123704832.
- ^ E.M. Stein, R. Shakarchi, "Real Analysis, Measure Theory, Integration, & Hilbert Spaces", vol. 3, 1st ed., 2005, p.91