高等數學

高等數學（英語：Further Mathematics）是比初等數學更高深的數學，一般是指高中的數學組學生，以及大學非數學專業的本科生所修習的數學。

歷史

微積分是17世紀末由英國科學家牛頓（I. Newton，1643—1727）和德國科學家萊布尼茨（G. W. Leibniz，1646—1716）獨立發明。數學界把微積分發明之前的數學稱為初等數學，而把微積分及其後的發展例如微分方程^{[註 1]}稱為高等數學。現代高等數學教材的主要內容包括：極限理論、一元微積分學、多元微積分學、空間解析幾何與向量代數、級數理論、常微分方程初步，各類課本略有差異。

中學裏較深入的代數、幾何以及集合論初步、邏輯初步統稱為中等數學的，將其作為小學、初中的初等數學與本科階段的高等數學之間的過渡。

高等數學是高等學校理工科本科有關專業學生的一門必修的重要基礎課。通過這門課程的學習，使學生獲得向量代數與空間解析幾何、微積分的基本知識，必要的基礎理論和常用的運算方法，並注意培養學生的運算能力和初步的抽象思維、邏輯推理及空間想像能力，從而使學生獲得解決實際問題能力的初步訓練，為學習後繼課程奠定必要的數學基礎。^{[來源請求]}

中國大陸

理工科非數學專業的各類專業的學生，學的深一些，課本常稱「高等數學」，多數院校使用課本為同濟大學數學系所編的《高等數學》；文史科各類專業的學生，學得淺一些，課本常稱「微積分」。理工科的不同專業，文史科的不同專業，深淺程度又各不相同。研究變量的是高等數學，可高等數學並不只研究變量。至於與「高等數學」相伴的課程通常有：線性代數，概率論與數理統計。

香港

在以往的七年制中學中，數學組的學生會在中四及中五級學習到附加數學科，在中六及中七級學習純粹數學科，涵蓋較深的三角學、極限、數列、級數、微積分、複數、矩陣、三維空間向量、圓錐曲線、數學歸納法、不等式、基礎的邏輯和集合論等，並需學習書寫證明。部分學生在中六及中七級還會學習應用數學科，包括利用向量、微積分和微分方程設立聯立方程，處理複雜的受力分析問題，以及概率、統計、數值方法、微分方程；中六及中七級的非數學組學生，也有部分會學習數學與統計學科，學習基礎微積分與統計。在三三四高中教育改革後，中學高等數學內容被大量刪減，只保留代數、微積分、統計，成為香港中學文憑考試數學科延伸部分。

大學理科、工科、商科和社會科學所要學習的數學和統計知識，多數由各院系自行設計和教授。

數學專業

數學專業的本科生，須學習數學各主要方向的理論，學習許多抽象數學概念的定義，以及與這些概念有關的定理的陳述與證明，要求的範圍和深度比其他專業的「高等數學」要高得多：分析方面，除了一元和多元微積分，還有數學分析、實分析、複分析、泛函分析等；代數方面有在任意域上的線性代數、抽象代數等；概率方面以測度論為基礎，與實分析關係密切；應用數學方面有常微分方程、偏微分方程、數值分析等；並且有「高等數學」不會觸及到的很多方向，如幾何和拓撲方面，有曲綫與曲面的微分幾何、點集拓撲等；其他方面還有初等數論、圖論、組合數學、數理邏輯等。研究生程度則有更多20世紀以後所發展出的分支方向，一些較大的方向有代數幾何、黎曼幾何、代數拓撲、幾何拓撲、表示論、解析數論、代數數論、動力系統理論、隨機過程等。

經典文獻

《微積分學教程》格里高利·米哈伊洛維奇·菲赫金哥爾茨著
《數學分析習題集》鮑里斯·帕夫羅維奇·吉米多維奇著
《微積分和數學分析引論》Richard Courant（柯朗）著
《高等數學教程》斯米爾諾夫著 1-5卷高等教育出版社
《古今數學思想》M.克萊因着 1-4冊上海科學技術出版社
《高等數學例題與習題集.一,一元微積分》И.И.利亞什科等編著
《高等數學例題與習題集.二,多元微積分》И.И.利亞什科等編著
《高等數學引論》(共四卷) 華羅庚著科學出版社
《微積分五講》龔昇著
《重溫微積分》齊民友著

參考資料

《數學辭海（第一卷）》山西教育出版社中國科學技術出版社東南大學出版社
《高等數學》第6版上下冊同濟大學應用數學系高等數學出版社 ISBN 978-7-04-021277-8
《高等數學》吳贛昌著高等教育出版社
（俄文）《高等數學教程》斯米爾諾夫著 1-5卷高等教育出版社
（英文）《古今數學思想》M.克萊因着 1-4冊上海科學技術出版社
（中文）《高等數學》同濟大學應用數學系第6版上下冊高等數學出版社 ISBN 978-7-04-021277-8

註釋

^ 包括常微分方程及方程組，偏微分方程及方程組，變分法等

參見

[1] 包括常微分方程及方程組，偏微分方程及方程組，變分法等

[註 1]