Y-Δ變換

Δ形電路和Y形電路

Y-Δ變換或稱為星角變換，是一種把Y形電路轉換成等效的Δ形電路，或把Δ形電路轉換成等效的Y形電路的方法。它可以用來簡化電路的分析。這一變換理論是由亞瑟·肯內利於1899年發表。

基本的Y-Δ變換

設R₁、R₂、和R₃分別是Y形電路中從N₁、N₂、N₃到中點的阻抗，R_a、R_b、R_c分別是Δ形電路中N₁與N₃、N₁與N₂、N₂與N₃之間的阻抗。希望把Y形電路換成Δ形電路，或把Δ形電路換成Y形電路後，任意兩個端點之間的阻抗仍然與原來的電路相等。

把Δ形電路變換成Y形電路

變換的基本思路是用$R'$和$R''$計算Y形電路端點的阻抗$R_{y}$，其中$R'$和$R''$是Δ形電路中對應節點到鄰接節點間的阻抗：

$R_{y}={\frac {R'R''}{\sum R_{\Delta }}}$

其中$R_{\Delta }$是Δ形電路的阻抗之和。具體公式如下：

$R_{1}={\frac {R_{a}R_{b}}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}}$

$R_{2}={\frac {R_{b}R_{c}}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}}$

$R_{3}={\frac {R_{a}R_{c}}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}}$

口訣為 Y形阻抗 = Δ形同側相鄰阻抗乘積 / Δ形阻抗之和

把Y形電路變換成Δ形電路

變換的基本思路是計算Δ形電路的$R_{\Delta }$：

$R_{\Delta }={\frac {R_{P}}{R_{\mathrm {opposite} }}}$

其中$R_{P}=R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}$是Y形電路中的阻抗兩兩相乘之和，$R_{\mathrm {opposite} }$是$R_{\Delta }$所在支路對側的端點在Y形電路中對應端點的阻抗。每一支路的阻抗計算公式為：

$R_{a}={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{2}}}$

$R_{b}={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{3}}}$

$R_{c}={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{1}}}$

口訣為 Δ形阻抗 = Y形阻抗兩兩相乘之和 / Y形對側端點阻抗

圖論

在圖論中，Y-Δ變換表示將一個圖的Y形子圖用等價的Δ形子圖代替。變換後的邊數不變，但頂點數和迴路數會變化。如果這兩個圖可以通過一系列的Y-Δ變換互相變換得到，那麼就可以成這兩個圖Y-Δ等價。例如，佩特森圖就是一個Y-Δ等價類。

推導

Δ形負載到Y形負載的變換方程

要將Δ形負載{$R_{a},R_{b},R_{c}$}變換成Y形負載{$R_{1},R_{2},R_{3}$}，需要比較二者對應節點的阻抗。要計算兩種接法的阻抗，需要將電路中的一個節點斷開。

Δ形電路中N₃斷開後，N₁與N₂間的阻抗為

${\begin{aligned}R_{\Delta }(N_{1},N_{2})&=R_{b}\parallel (R_{a}+R_{c})\\[8pt]&={\frac {1}{{\frac {1}{R_{b}}}+{\frac {1}{R_{a}+R_{c}}}}}\\[8pt]&={\frac {R_{b}(R_{a}+R_{c})}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}}.\end{aligned}}$

將{$R_{a},R_{b},R_{c}$}之和用$R_{T}$表示以簡化方程：

$R_{T}=R_{a}+R_{b}+R_{c}$

得到

$R_{\Delta }(N_{1},N_{2})={\frac {R_{b}(R_{a}+R_{c})}{R_{T}}}$

Y形電路中N₁與₂的對應阻抗為

$R_{Y}(N_{1},N_{2})=R_{1}+R_{2}$

由以上兩式得到：

$R_{1}+R_{2}={\frac {R_{b}(R_{a}+R_{c})}{R_{T}}}$   (1)

同理，對於$R(N_{2},N_{3})$與$R(N_{1},N_{3})$，也分別有

$R_{2}+R_{3}={\frac {R_{c}(R_{a}+R_{b})}{R_{T}}}$   (2)

$R_{1}+R_{3}={\frac {R_{a}(R_{b}+R_{c})}{R_{T}}}.$   (3)

由此，{$R_{1},R_{2},R_{3}$}的值可以由以上式子的線性組合（相加或相減）求出。

例如，將式(1)和式(3)相加，然後減去式(2)會得到

$R_{1}+R_{2}+R_{1}+R_{3}-R_{2}-R_{3}={\frac {R_{b}(R_{a}+R_{c})}{R_{T}}}+{\frac {R_{a}(R_{b}+R_{c})}{R_{T}}}-{\frac {R_{c}(R_{a}+R_{b})}{R_{T}}}$

$2R_{1}={\frac {2R_{b}R_{a}}{R_{T}}}$

於是

$R_{1}={\frac {R_{b}R_{a}}{R_{T}}}.$

其中 $R_{T}=R_{a}+R_{b}+R_{c}$

求出所有的阻抗值如下：

$R_{1}={\frac {R_{b}R_{a}}{R_{T}}}$ (4)

$R_{2}={\frac {R_{b}R_{c}}{R_{T}}}$ (5)

$R_{3}={\frac {R_{a}R_{c}}{R_{T}}}$ (6)

Y形負載到Δ形負載的變換方程

令

$R_{T}=R_{a}+R_{b}+R_{c}$.

則Δ形電路到Y形電路的變換方程變為

$R_{1}={\frac {R_{a}R_{b}}{R_{T}}}$   (1)

$R_{2}={\frac {R_{b}R_{c}}{R_{T}}}$   (2)

$R_{3}={\frac {R_{a}R_{c}}{R_{T}}}.$   (3)

將以上式子兩兩相乘得到

$R_{1}R_{2}={\frac {R_{a}R_{b}^{2}R_{c}}{R_{T}^{2}}}$   (4)

$R_{1}R_{3}={\frac {R_{a}^{2}R_{b}R_{c}}{R_{T}^{2}}}$   (5)

$R_{2}R_{3}={\frac {R_{a}R_{b}R_{c}^{2}}{R_{T}^{2}}}$   (6)

上式之和為

$R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}={\frac {R_{a}R_{b}^{2}R_{c}+R_{a}^{2}R_{b}R_{c}+R_{a}R_{b}R_{c}^{2}}{R_{T}^{2}}}$   (7)

將右側式子中的公因式$R_{a}R_{b}R_{c}$提出，約去分子中的$R_{T}$和分母中的一個$R_{T}$後得到

$R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}={\frac {(R_{a}R_{b}R_{c})(R_{a}+R_{b}+R_{c})}{R_{T}^{2}}}$

$R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}={\frac {R_{a}R_{b}R_{c}}{R_{T}}}$ (8)

注意式(8)和式{(1),(2),(3)}的相似性，

將式(8)除以式(1)得到

${\frac {R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}}{R_{1}}}={\frac {R_{a}R_{b}R_{c}}{R_{T}}}{\frac {R_{T}}{R_{a}R_{b}}},$

${\frac {R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}}{R_{1}}}=R_{c},$

得到$R_{c}$的表達式。同理，將式(8)除以$R_{2}$或$R_{3}$也能得到相應的表達式。

參考文獻

• William Stevenson，「Elements of Power System Analysis 3rd ed.」，McGraw Hill, New York, 1975, ISBN 0-07-061285-4