在数学中,代数几何与解析几何是两个关系密切的学科。代数几何研究代数簇,在复数域上,同时也能以复分析及微分几何的技术研究代数簇。让-皮埃尔·塞尔在1956年的同名论文中比较了这两种观点。在 SGA 第一册附录中,则以概形论的语言重新表述。
性质的比较[编辑]
给定一个
上的局部有限型概形
,可以考虑相应的复解析空间
。此对应
定义一个从局部有限型概形范畴到复解析空间范畴的函子。对任一
-模
,同样可考虑相应的
-模
,这也给出相应的函子。可以证明
是一个正合、忠实且保守的函子。
论证中用到的关键性质是:
是平坦的
-模。
拓扑性质比较[编辑]
设
为一局部可构子集(即:局部闭集的有限并集),以下
的性质在
中成立,当且仅当在
中成立:
当
为有限型态射时,对于
及
本身,下述性质也是相通的:
概形性质比较[编辑]
以下性质对
成立,当且仅当对
成立:
- 非空
- 离散
- 科恩-麦考利概形
![{\displaystyle S_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f049ac28d4ac8097b625f9d71c1f22b2ebd1bc4)
![{\displaystyle R_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08a51eb87e8de827a6df940f756f9ab254cb336b)
- 正规
- 既约
- 维度等于
![{\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
态射性质比较[编辑]
设
为概形的态射,
为复解析空间的相应态射,则下述性质对
成立当且仅当对
成立:
- 平坦
- 非分歧
- 平展
- 平滑
- 正规
- 既约
- 分离
- 单射(拓扑意义)
- 同构
- 单射(范畴论意义)
- 开浸入
若再要求
是有限型态射,则可再加入下述性质:
- 满射(拓扑意义)
- 优势态射
- 闭浸入
- 浸入
- 真态射
- 有限态射
上同调比较[编辑]
以下假设
是真态射,对任一个凝聚
-模
,有自然同构:
![{\displaystyle (R^{\bullet }f_{*}F)^{\mathrm {an} }{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}R^{\bullet }f_{*}^{\mathrm {an} }(F^{\mathrm {an} })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2730cbae86aabe46cf90395062a25295012c6432)
当
时,遂有层上同调的比较定理:
![{\displaystyle H^{\bullet }(X,F){\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}H^{\bullet }(X^{\mathrm {an} },F^{\mathrm {an} })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a72b6eb5087d500bed1e1a1b9f1bb1e8db383ac)
此时
给出范畴的等价。
黎曼存在性定理[编辑]
黎曼存在性定理则断言:若
是
-上的局部有限型概形,且
是复解析空间的有限平展覆盖,则存在
-概形
及平展态射
,使得
。此外,函子
给出从【
的有限平展覆盖】到【
的有限平展覆盖】的范畴等价。
当
为连通时,此定理的一个直接推论是代数基本群与拓扑基本群的比较定理:
![{\displaystyle {\widehat {\pi _{1}(X^{\mathrm {an} },x_{0})}}\sim \pi _{1}^{\mathrm {alg} }(X,x_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/808b1300f47b285ae71dd7edd0d1960cd689c61d)
其中
,而
表示代数基本群
对有限指数子群的完备化。