在交换代数中,一个环的克鲁尔维数定义为素理想链的最大长度。此概念依数学家 Wolfgang Krull(1899年-1971年)命名。
设交换环
中有
个素理想
,使得
![{\displaystyle P_{0}\subsetneq P_{1}\subsetneq \ldots \subsetneq P_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6a88066c3f7c96a72c29cdf2b3c404fbe0a3865)
则称之为长度为
的素理想链,一个无法插入新的素理想的链被称作极大的。
的克鲁尔维数定义为素理想链的最大可能长度,这也等于是
中素理想的最大可能高度。
根据定义,
的维数与对素理想的局部化有下述关系
![{\displaystyle \dim R=\sup\{\dim R_{\mathfrak {p}}:{\mathfrak {p}}\in \mathrm {Spec} R\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a7391183e01580fe06d4c9c3d14492114d679aa)
其中
表
的所有素理想所成集合。我们也可以仅考虑为极大理想的
。当
为链环时,对各极大理想的局部化皆有相同维数;代数几何处理的交换环通常都是链环。
例子与性质[编辑]
例如在环
中可考虑以下的素理想链
![{\displaystyle (2)\subsetneq (2,x)\subsetneq (2,x,y)\subsetneq (2,x,y,z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0488f920f08febc9104e59e062f7d443745864f0)
因此
;事实上可证明其维数确实为 3。以下是克鲁尔维数的几个一般性质:
- 零维的整环是域。
- 离散赋值环与戴德金整环是一维的。
- 若
,则
;当
为诺特环时则
。
- 若
为域,则
。
- 若
为
-代数,同时又是有限生成的
-模,则
。
与几何的关系[编辑]
在代数几何中,一个概形的维数被定义为各局部环的克鲁尔维数的上确界;对于仿射概形
,则回归到
。
设
为域,
是有限型
-整代数,这是代数几何中的主要案例。根据诺特正规化引理,存在非负整数
及
中彼此代数独立的元素
,使得
是有限生成之
-模,因此
。从几何观点看,
此时是
的有限分歧覆盖,因而克鲁尔维数确实合乎下述几何直观:
![{\displaystyle \dim \mathbb {A} _{k}^{d}=d}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edbb10c9e75cb73636011776a1a37cb5d42dcaea)
- 若
是分歧覆盖,则
。
特别是当
时,代数簇的克鲁尔维数等于复几何中定义的维数。