变分是在应用数学与变分法中泛函应对与函数中的微分使用的概念。具体可以分为泛函的变分、函数的变分等。[1]
函数的变分[编辑]
设极值曲线为
,可取曲线为
。定义
为y的一次变分,即函数y的增量。从而可得
对隐函数
,其一次变分即为全微分:
。由于x无增量,即
,故有
。
泛函的变分[编辑]
对泛函
,
可得
,其一次变分是其Taylor级数的一次项,即
,或直接定义一次变分为
。
故其二次变分为其Taylor级数的二次项,即
。
需要注意,与二阶微分
不同,泛函的二次变分不是对其一次变分再取变分。
计算
的一次变分?
![{\displaystyle \delta J(y,h)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/404bb6cd99af4c908b4c038331e08728ce9de72a) | ![{\displaystyle ={\frac {d}{d\varepsilon }}J(y+\varepsilon h)\left.\right|_{\varepsilon =0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fe12c9fb3b942870032ba0ce388b41e3c7161c3) |
| ![{\displaystyle ={\frac {d}{d\varepsilon }}\int _{a}^{b}(y+\varepsilon h)(y^{\prime }+\varepsilon h^{\prime })\ dx\left.\right|_{\varepsilon =0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/025ae14cad05dc037b64d3cd2c15e9f34b0ce1fd) |
| ![{\displaystyle ={\frac {d}{d\varepsilon }}\int _{a}^{b}(yy^{\prime }+y\varepsilon h^{\prime }+y^{\prime }\varepsilon h+\varepsilon ^{2}hh^{\prime })\ dx\left.\right|_{\varepsilon =0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/016e09c3a8cc817822d2666b89135f8b562f04d9) |
| ![{\displaystyle =\int _{a}^{b}{\frac {d}{d\varepsilon }}(yy^{\prime }+y\varepsilon h^{\prime }+y^{\prime }\varepsilon h+\varepsilon ^{2}hh^{\prime })\ dx\left.\right|_{\varepsilon =0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bcf8c82b15412bd0dae9a878f7dde4ad1af3baf) |
| ![{\displaystyle =\int _{a}^{b}(yh^{\prime }+y^{\prime }h+2\varepsilon hh^{\prime })\ dx\left.\right|_{\varepsilon =0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/500e8eb0f093a277a9313beb76e98be89405fb95) |
| ![{\displaystyle =\int _{a}^{b}(yh^{\prime }+y^{\prime }h)\ dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20984be6a4ef8a8e4d194b4f715f8817cfdc3b00) |
参考文献[编辑]
- ^ 吴, 受章. 最优控制理论与应用.