状态转移矩阵(state-transition matrix)是控制理论中的矩阵,是时间
和初始时间
的函数,可以将时间
的状态向量
和此矩阵相乘,得到时间
时的状态向量
。状态转移矩阵可以用来找线性动态系统的通解。
线性系统的解[编辑]
状态转移矩阵用来找以下形式线性系统在状态空间下的解:
,
其中
为系统状态,
为输入信号,而
为时间
时的初始条件。利用状态转移矩阵
,其解如下[1][2]:
![{\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {\Phi } (t,t_{0})\mathbf {x} (t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {\Phi } (t,\tau )\mathbf {B} (\tau )\mathbf {u} (\tau )d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f9bd2c269c15d814272c465b1f202e9750e8f35)
第一项为零输入响应(zero-input response),第二项为零状态响应(zero-state response)。
Peano-Baker级数解[编辑]
更广义的状态转移矩阵可以用Peano-Baker级数解求得
![{\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,\tau )=\mathbf {I} +\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\,d\sigma _{1}+\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\int _{\tau }^{\sigma _{1}}\mathbf {A} (\sigma _{2})\,d\sigma _{2}\,d\sigma _{1}+\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\int _{\tau }^{\sigma _{1}}\mathbf {A} (\sigma _{2})\int _{\tau }^{\sigma _{2}}\mathbf {A} (\sigma _{3})\,d\sigma _{3}\,d\sigma _{2}\,d\sigma _{1}+...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b93bde999bf698b2ce6a32857aed765eed590ca5)
其中
为单位矩阵。此矩阵均匀收敛到一个存在而且唯一的解,而且是绝对收敛[2]。
其他性质[编辑]
状态转移矩阵
可以表示为下式
![{\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,\tau )\equiv \mathbf {U} (t)\mathbf {U} ^{-1}(\tau )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6379eb52a9a931c2299751230680d591470f9a41)
其中
为基础矩阵,满足下式
![{\displaystyle {\dot {\mathbf {U} }}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {U} (t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29a2b0183785c40b9bfd401415f7a8fa43c08826)
状态转移矩阵是
的矩阵,是会映射到本身的线性映射。若
,再给定任意时间
下的状态
,另一个时间
的状态可由以下映射求得
![{\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {\Phi } (t,\tau )\mathbf {x} (\tau )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e0225879caf77779a0a4134bcae6faab5787ab7)
状态转移矩阵恒满足以下的关系:
and
对于所有的
,其中
为单位矩阵[3]。
也有以下的性质:
1. |
|
2. |
|
3. |
|
4. |
|
若系统是时不变系统,可以将
定义为
![{\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,t_{0})=e^{\mathbf {A} (t-t_{0})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/714cfd81a4f4dc9387841c4cf73203cf24b5da09)
在时变系统的例子中,可能有许多不同的函数满足上述条件,而解和系统的结构有关。在分析时变系统的解之前,需要先确定其状态转移矩阵。
参考资料[编辑]
相关条目[编辑]