蝴蝶定理 （Butterfly theorem），是古典欧氏平面几何 的最精彩的结果之一。蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，这个命题最早出现在1815年，而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊 》1944年2月号，题目的几何图形象一只蝴蝶 ，便以此命名。这个定理的证法多得不胜枚举，至今仍然被数学热爱者研究，在考试中时有出现各种变形。
最基本的叙述为：设M 为圆内弦 PQ 的中点，过M 作弦AB 和CD 。设AD和BC 各相交PQ 于点X 和Y ，则M 是XY 的中点。
这个命题最早作为一个征解问题出现在公元1815年英国 的一本杂志《男士日记》（Gentleman's Diary）39-40页上。登出的当年,英国一个自学成才的中学数学教师W.G.霍纳 （他发明了多项式 方程近似根的霍纳法 ）给出了第一个证明，完全是初等的；另一个证明由理查德·泰勒（Richard Taylor）给出。一种早期的证明由M.布兰德（Miles Bland）在《几何问题》（1827年）一书中给出。最为简洁的证法是射影几何 的证法，由英国的J·开世 在"A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid"（中译：近世几何学初编，李俨 译，上海商务印书馆 1956 ）给出，只有一句话，用的是线束的交比 。1981年，Crux杂志 刊登了K.萨蒂亚纳拉亚纳（Kesirajn Satyanarayana）用解析几何 的一种比较简单的方法（利用直线束，二次曲线束）。
该定理实际上是射影几何 中一个定理的特殊情况，有多种推广：
M，作为圆内弦是不必要的，可以移到圆外。
圆可以改为任意圆锥曲线 。
将圆变为一个完全四角形 ，M为对角线交点。
去掉中点的条件，结论变为一个一般关于有向线段的比例式，称为“坎迪定理 ”，
M
{\displaystyle M\,}
1
M
Y
−
1
M
X
=
1
M
Q
−
1
M
P
{\displaystyle {1 \over MY}-{1 \over MX}={1 \over MQ}-{1 \over MP}}
从
X
{\displaystyle X\,}
A
M
{\displaystyle AM\,}
D
M
{\displaystyle DM\,}
X
′
{\displaystyle X'\,}
X
″
{\displaystyle X''\,}
Y
{\displaystyle Y\,}
B
M
{\displaystyle BM\,}
C
M
{\displaystyle CM\,}
Y
′
{\displaystyle Y'\,}
Y
″
{\displaystyle Y''\,}
证明蝴蝶定理 现在，由于
△
M
X
X
′
∼
△
M
Y
Y
′
,
{\displaystyle \triangle MXX'\sim \triangle MYY',\,}
M
X
M
Y
=
X
X
′
Y
Y
′
,
{\displaystyle {MX \over MY}={XX' \over YY'},}
△
M
X
X
″
∼
△
M
Y
Y
″
,
{\displaystyle \triangle MXX''\sim \triangle MYY'',\,}
M
X
M
Y
=
X
X
″
Y
Y
″
,
{\displaystyle {MX \over MY}={XX'' \over YY''},}
△
A
X
X
′
∼
△
C
Y
Y
″
,
{\displaystyle \triangle AXX'\sim \triangle CYY'',\,}
X
X
′
Y
Y
″
=
A
X
C
Y
,
{\displaystyle {XX' \over YY''}={AX \over CY},}
△
D
X
X
″
∼
△
B
Y
Y
′
,
{\displaystyle \triangle DXX''\sim \triangle BYY',\,}
X
X
″
Y
Y
′
=
D
X
B
Y
,
{\displaystyle {XX'' \over YY'}={DX \over BY},}
从这些等式，可以很容易看出：
(
M
X
M
Y
)
2
=
X
X
′
Y
Y
′
X
X
″
Y
Y
″
,
{\displaystyle \left({MX \over MY}\right)^{2}={XX' \over YY'}{XX'' \over YY''},}
=
A
X
.
D
X
C
Y
.
B
Y
,
{\displaystyle {}={AX.DX \over CY.BY},}
=
P
X
.
Q
X
P
Y
.
Q
Y
,
{\displaystyle {}={PX.QX \over PY.QY},}
=
(
P
M
−
X
M
)
.
(
M
Q
+
X
M
)
(
P
M
+
M
Y
)
.
(
Q
M
−
M
Y
)
,
{\displaystyle {}={(PM-XM).(MQ+XM) \over (PM+MY).(QM-MY)},}
由于
P
M
{\displaystyle PM\,}
M
Q
{\displaystyle MQ\,}
现在，
(
M
X
)
2
(
M
Y
)
2
=
(
P
M
)
2
−
(
M
X
)
2
(
P
M
)
2
−
(
M
Y
)
2
.
{\displaystyle {(MX)^{2} \over (MY)^{2}}={(PM)^{2}-(MX)^{2} \over (PM)^{2}-(MY)^{2}}.}
因此，我们得出结论：
M
X
=
M
Y
{\displaystyle MX=MY\,}
M
{\displaystyle M\,}
X
Y
{\displaystyle XY\,}
证毕。
