调和数可以指跟约数和有关的整数欧尔调和数。在数学上,第n个调和数是首n个正整数的倒数和,即
它也等于这些自然数的调和平均值的倒数的
倍。它可以推广到正整数的倒数的幂之和,即
。
调和级数的性质[编辑]
根据定义,调和数满足递推关系
它也满足恒等式
对于第n项调和数,有以下公式
设:
,由此得到
![{\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}&=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}\,dx\\&=-\int _{1}^{0}{\frac {1-(1-u)^{n}}{u}}\,du\\&=\int _{0}^{1}{\frac {1-(1-u)^{n}}{u}}\,du\\&=\int _{0}^{1}\left[\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\binom {n}{k}}u^{k-1}\right]\,du\\&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\binom {n}{k}}\int _{0}^{1}u^{k-1}\,du\\&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\frac {1}{k}}{\binom {n}{k}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c984285566e47364b98a6e2e38e75ecdeb0709e)
对于调和数
,当n不是太大时,可以直接计算。
当n特别大时,可以进行估算。
因为
,
其中
称为欧拉-马斯刻若尼常数,
由此得到
当n越大时,估算越精确。
更精确的估算是
其中
是第k项伯努利数。
广义调和数[编辑]
广义调和数满足
由此,我们得到
![{\displaystyle H_{\frac {3}{4}}={\tfrac {4}{3}}-3\ln {2}+{\tfrac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf540c34a6f10439edd7115e47b86de9b31600ea)
![{\displaystyle H_{\frac {2}{3}}={\tfrac {3}{2}}(1-\ln {3})+{\sqrt {3}}{\tfrac {\pi }{6}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbc41f6319fc7a545861086d7f7f916c93f9db49)
![{\displaystyle H_{\frac {1}{2}}=2-2\ln {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c8b5b6c8ca3171d1ee547da5142f634a71afa6d)
![{\displaystyle H_{\frac {1}{3}}=3-{\tfrac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}-{\tfrac {3}{2}}\ln {3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d82b536479a22530a4c466e77d5f9454faddf1ab)
![{\displaystyle H_{\frac {1}{4}}=4-{\tfrac {\pi }{2}}-3\ln {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/caf3d609baed958efd50dc44dee720f4906b7f49)
![{\displaystyle H_{\frac {1}{6}}=6-{\tfrac {\pi }{2}}{\sqrt {3}}-2\ln {2}-{\tfrac {3}{2}}\ln {3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/276d6a31bfa3f40fe0c6e1361c86fe8bd36d812f)
![{\displaystyle H_{\frac {1}{8}}=8-{\tfrac {\pi }{2}}-4\ln {2}-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left\{\pi +\ln \left(2+{\sqrt {2}}\right)-\ln \left(2-{\sqrt {2}}\right)\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c68e65468352cc389e8c17c7b0e506e28031b62)
![{\displaystyle H_{\frac {1}{12}}=12-3\left(\ln {2}+{\tfrac {\ln {3}}{2}}\right)-\pi \left(1+{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\right)+2{\sqrt {3}}\ln \left({\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/895f0572dcfe8e2196236106d795c3c1062cd0e7)
对于任意两个正整数p和q,并且p<q,我们有
![{\displaystyle H_{\frac {p}{q}}={\frac {q}{p}}+2\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {q-1}{2}}\rfloor }\cos({\frac {2\pi pk}{q}})ln({\sin({\frac {\pi k}{q}})})-{\frac {\pi }{2}}cot({\frac {\pi p}{q}})-ln({2q})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaee3129d51cc1e8ade6c7e865e47b4e64b41353)
微积分[编辑]
对于每一个大于0的x,有
由此,得
对于每一个n,有
其他数列[编辑]
根据定义,其他类似于调和数的数列有以下计算方法: