可逆层

在代数几何学中, 可逆层是在赋环空间X上的一个凝聚层S，使得 S关于O_X-模上的张量积存在一个逆元素T。这是拓扑意义上的线丛在代数几何学中的类比。 可逆层也被等价定义为秩为1的局部自由层。可逆层在研究代数簇时起到了重要的作用。

定义

可逆层被定义为在赋环空间$(X,{\mathcal {O}}_{X})$上的一个凝聚层S，使得 S关于O_X-模上的张量积存在一个逆元素T 。这相当于说，我们有

$S\otimes T\ \cong {\mathcal {O}}_{X}$

这里，空间X的环层${\mathcal {O}}_{X}$是张量积运算下的单位元。可逆层的重要例子来源于对代数几何学和复流形的研究。在这些研究中，可逆层等同于线丛。

上述可逆层的定义采用概形语言叙述。这个定义可被替换为可逆层是“秩为1的局部自由层”。这意味着, 在X上张量逆的存在等价于S 是某个交换环R上、具有秩为1的模的形式的层。更普遍地说，当X是仿射概形Spec(R)时，可逆层由R上的秩为1的投射模组成。

皮卡群

主条目：皮卡群

一般来说,X上的可逆层的同构类关于张量积构成了一个阿贝尔群，被称作皮卡群(Picard Group)，记作$\mathrm {Pic} (X)\$，其中Pic 代表皮卡函子。皮卡群推广了 理想类群的概念。皮卡群的构造融合了代数曲线上雅可比簇的理论在内，于是在代数几何学中，对皮卡函子的研究成为了核心问题之一。

相关条目

• 向量丛
• 陈类
• 皮卡群
• 伯克霍夫-格罗滕迪克定理

参考资料

• Section 0.5.4 of Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 4. doi:10.1007/bf02684778. MR 0217083.