实闭域

在数学中，实闭域或实封闭域是一类有序域，使得其中每个正元素皆可表为平方，且任何奇数次多项式都有根。以下将给出几种等价的定义。

定义

形式实域

假设所论之域的特征数皆为零。若在一个域$F$中，$-1$无法写成平方和（表法：$-1\neq \sum F^{2}$），则称$F$是形式实的。

每个有序域都是形式实域；形式实的定义本身不涉及序结构，但借由实闭包的存在性可证明每个形式实域皆带序结构。

实封闭域

一个实封闭域$F$若满足下列等价条件，则称之实封闭域：

• $F$上存在一个序结构，使得其中每个正元素皆可表为平方，且任何奇数次多项式都有根。
• $F$上存在一个序结构，使之满足中间值定理。
• 对任意$a\in F$，或者$a\in F^{2}$或者$-a\in F^{2}$；且任何奇数次多项式都有根。
• $F$非代数封闭，而$F({\sqrt {-1}})$代数封闭。
• 若$F'\supset F$，$F'$是形式实的，则$F'=F$。

我们可以纯以代数性质定义实封闭域，并由$a>0\Leftrightarrow a\in F^{2},a\neq 0$得到唯一的序结构。

实闭包

对任何形式实域$F$，都存在代数扩张$R\subset F$，使得$R$是实封闭的。我们称$R$是$F$的一个实闭包。实闭包并不唯一。

若在$F$上固定一个序结构，并要求$R$的序结构与之相容；则此时实闭包$R$存在并唯一，且$\mathrm {Aut} (R/F)=\{\mathrm {id} _{R}\}$。

例子

• 实数域$\mathbb {R}$
• $\mathbb {R} \cap \mathbb {Q} ^{\mathrm {alg} }$；它是$\mathbb {Q}$的实闭包。
• 可计算数
• Puiseux级数

模型论观点

实封闭域的研究首先由数学家展开，随后引起了逻辑学家的兴趣。采用形式语言${\mathcal {L}}:=\langle +,-,\cdot ,>\rangle$，设$\mathrm {RCF}$为实封闭域（带序结构）的${\mathcal {L}}$-一阶理论，塔斯基证明了$\mathrm {RCF}$上有量词消去；因此任两个$\mathrm {RCF}$的模型都是初等等价的。一方面，我们可运用$\mathbb {R}$上的特有工具（微积分、拓扑等等）证明一般实封闭域上的一阶句子；另一方面，则可透过适当的域扩张解决$\mathbb {R}$上的问题，后一方向上最著名的成就是 Abraham Robinson 对希尔伯特第十七问题的证明。

如果改采形式语言${\mathcal {L}}^{-}:=\langle +,-,\cdot \rangle$，并取实封闭域的代数定义$\mathrm {RCF} ^{-}$，此时则无法消去量词（在$\mathrm {RCF} ^{-}$中考虑公式$\exists y\;y=x^{2}$）。

设$R$是实封闭域，换言之$R\models _{\mathcal {L}}\mathrm {RCF}$，根据$\mathrm {RCF}$上的量词消去，$R$上的可定义集只是有限多个线段与孤立点的并集。此性质称作O-极小性，它较量词消去为弱，却是研究$R^{n}$上可定义集的几何构造之关键。

量词消去也蕴含$\mathrm {RCF}$的可判定性，然而塔斯基给出的算法其复杂度过高，并不实用。

若承认广义连续统假设，则可进一步以超积描述实封闭域的性状。

文献

• Chang, Chen Chung and Keisler, H. Jerome: Model Theory, North-Holland, 1989.
• H. Garth Dales and W. Hugh Woodin: Super-Real Fields, Clarendon Press, 1996.
• Computational Real Algebraic Geometry, Bhubaneswar Mishra, Handbook of Discrete and Computational Geometry, CRC Press, 1997 (Postscript 版本 （页面存档备份，存于互联网档案馆）); 亦见 2004 edition, p. 743, ISBN 1-58488-301-4
• Saugata Basu, Richard Pollack and Marie-Françoise Roy, Algorithms in real algebraic geometry, Springer, Algorithms and computation in mathematics, 2003, ISBN 3540330984 (在线版本)
• Bob F. Caviness, Jeremy R. Johnson, editors, Quantifier elimination and cylindrical algebraic decomposition, Springer, 1998, ISBN 3211827943