在几率论与统计学中,几何标准差形容一组数值有多分散,用于当这一组数字理应优先选用的平均数为几何平均数之时。对于这类数据,几何标准差可能优于普通的标准差。留意几何标准差是个乘法因数,因此是无量纲的,而不似普通的算术标准差,与输入数值有同样的量纲。
若一组数字{A1, A2, ..., An}的几何平均数用μg表示,则几何标准差是
![{\displaystyle \sigma _{g}=\exp \left({\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(\ln {A_{i} \over \mu _{g}})^{2} \over n}}\right)\qquad \qquad (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25e81624d30f10c2cfe72c74238b586560d4bd3d)
若几何平均数是
![{\displaystyle \mu _{g}={\sqrt[{n}]{A_{1}A_{2}\cdots A_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17a0c7985c5b2c6c917b2fc28208e9a35a1b316e)
则两边取自然对数得
![{\displaystyle \ln \mu _{g}={1 \over n}\ln(A_{1}A_{2}\cdots A_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89ad8dff4f4a4f811dd7a742e25d7e9425c9d01c)
乘积的对数等于对数的和(假设对于所有
,
是正数),所以
![{\displaystyle \ln \mu _{g}={1 \over n}[\ln A_{1}+\ln A_{2}+\cdots +\ln A_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9219facc071afeb6379166d286a290dc4ddb109)
现在可以看出
是这组
的算术平均数,因此这同一组的算术标准差应为
![{\displaystyle \ln \sigma _{g}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(\ln A_{i}-\ln \mu _{g})^{2} \over n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4212075b94639dbcbcb995739efa9791da85ff10)
这化简成
![{\displaystyle \sigma _{g}=\exp {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(\ln {A_{i} \over \mu _{g}})^{2} \over n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9efdaa34b3d22781282fd670aab7d08d818ec01e)
几何标准分数[编辑]
标准分数的几何版本是
![{\displaystyle z={{\ln(x)-\ln(\mu _{g})} \over \ln \sigma _{g}}={\log _{\sigma _{g}}(x/\mu _{g})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c939525ea53b77a2c7594fbca99de582e33ee40c)
若已知一个数据的几何平均数、几何标准差、和几何标准分数,则可重构原始分数
![{\displaystyle x=\mu _{g}{\sigma _{g}}^{z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2320c100a086d7848bcf960748b0cfa64ca608e)
与对数正态分布的关系[编辑]
几何标准差用于量度对数正态分布的离散程度,就如几何平均数[1]。由于对数正态分布通过对数变换得出正态分布,可见几何标准差是e的幂,指数为对数变换后的标准差,即是
。
于是乎,从一个呈对数正态分布的母体中,抽取样本来计算出几何平均数和几何标准差,可用来找出置信区间的上下限,如同使用算术平均数和标准差求正态分布的置信区间。详见对数正态分布。