广义频谱图(Generalized spectrogram),为频谱图的通用型。为了得知信号随着时间的频率分布状态,以频谱图观察时,其分辨率受到测不准原理影响,频率分辨率与时间分辨率相乘为定值。为解决此问题,于是将频谱图推广至广义频谱图。
一段随时间变化的信号,同时具有时域和频域的特征,若想要了解一个信号在某段时间内的频率特征,最好的方式就是使用时频分析,观察一段信号的时频分布图。频谱图(Spectrogram)就是其中一种同时表示时间和频率特征的分布图。
广义频谱图的定义[编辑]
以高斯函数作为窗函数(window function),使用时频分析,求出两组不同长度的窗函数的加伯转换,即
和
,再将
取共轭复数后相乘。公式如下:
其中
为加伯转换的窗函数,
为时间
为频率。
加伯转换的公式如下:
若将
,则与原本频谱图无异。
长度不同的窗函数,其时频域的分辨率不同,依据测不准原理,较窄的窗函数,时间分辨率较好,而频率分辨率较差;相反的,较宽的窗函数,频率分辨率较好,而时间分辨率较差。
为了同时在时间和频率轴上都达到更好的分辨率,把在频谱图原定义中的
分为两个长短不同的波形。例如 : 可以让
长度较宽,在频域上面有良好的分辨率,而
则长度较窄,在时域上有良好的分辨率。先分别运算
和
,再相乘,变为
。如此一来时域和频域上的分辨率都能兼顾到。
- 有优于测不准原理的时间分辨率与空间分辨率。
- 由于各自的加伯转换并不会有cross term,故此方法也不会有cross term出现。
- 有省时方法:当一组加伯转换中的数值为零时,我们将不用去计算另一组,因为相乘后还是零。
- 需要计算两组加伯转换,即与频谱图相比,最高会多花两倍的时间
- 需要去最佳化
与![{\displaystyle w_{2}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10d1cacecdfdb1feb8521dc16efd97e221e7f062)
当我们的输入信号为:
![{\displaystyle x_{1}(t)={\begin{cases}\cos(2\pi t);&t<10\\\cos(3\pi t);&10\leq t<20\\\cos(6\pi t);&t>20\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50affab6765b72e32c64bb4feccdd17444e03aac)
我们先分别求出
与
的 。经Matlab计算后,如下图
加伯转换中,sigma=0.1的频谱图
加伯转换中,sigma=1.6的频谱图
将其中一个取共轭复数后,两者相乘,得到广义频谱图如下;
广义频谱图
我们可以与
的加伯转换比较:
加伯转换中,sigma=0.4.的频谱图
可以发现广义频谱图无论是在时间分辨率下,或是频率分辨率下,都优于
的加伯转换。
原本的广义频谱图公式为
我们可以对此再进行一般化,如下
或者如下方形式:
两种方法新增了
、
两变数,期望能找到更好的分辨率。
参考来源[编辑]
- 丁建均上课讲义。时频分析与小波转换 (页面存档备份,存于互联网档案馆),p189-p192。2016.1.19
- P. Boggiatto, G. De Donno, and A. Oliaro,"Two window spectrogram and their integrals,"Advances and Applications, vol. 205, pp. 251–268, 2009.。