有限生成

在抽象代数中，有限生成意谓一个代数结构中存在有限多个元素 $x_{1},\ldots ,x_{n}$，使得每个元素都能由这些元素的代数运算生成；或者形式地说，谓该结构能表成有限个生成元的自由对象的商（在适当的范畴内）。这类对象有时也称为有限型的。

以下是常见的特例：

• 有限生成群：若群 $G$ 中存在一个有限子集 $S$，使得 $G$ 中的任一元素都能以 $S$ 的元素及其逆元的连乘积表示，则称 $G$ 为有限生成群。
• 有限生成阿贝尔群
• 有限生成模：设 $R$ 为环，若左 $R$-模 $M$ 中存在有限多个元素 $m_{1},\ldots ,m_{n}$，使得 $M=Rm_{1}+\cdots +Rm_{n}$，则称 $M$ 为有限生成模；对右 $R$-模的定义类此。有限维向量空间是其特例。
• 有限生成代数：设 $R$ 为交换环，若 $R$-代数 $A$ 中存在有限多个元素 $a_{1},\ldots ,a_{n}$，使得每个 $A$ 的元素都能表成多项式 $f(a_{1},\ldots ,a_{n})$，其中 $f\in R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$。