肾形线

肾形线可以用在一圆上滖动的圆来产生

肾形线（nephroid）是外形类似肾脏的平面曲线，其英文nephroid源自希腊语的 ὁ νεφρός （ho nephros），和肾脏科的英文nephrology有相同的字根。肾形线主要是指Richard A. Proctor在1878年提出的曲线，不过有时也会用来描述其他曲线。

肾形线是六度的代数曲线，可以用一个半径为 $a$的圆在半径为$2a$的固定圆上滚动而得，因此肾形线也属于外摆线，有二个尖点。肾形线是平面的简单闭曲线，因此也是若尔当曲线。

方程式

肾形线的定义

杯底的肾形线焦散

考虑一小圆在一固定圆的外面滚动，若小圆的半径为$a$，固定圆的圆心在$(0,0)$，半径为$2a$，小圆的滚动角为$2\varphi$，启始点为$(2a,0)$（如图所示），则可以得到肾形线的

• 参数式

$x(\varphi )=3a\cos \varphi -a\cos 3\varphi =6a\cos \varphi -4a\cos ^{3}\varphi \ ,$

$y(\varphi )=3a\sin \varphi -a\sin 3\varphi =4a\sin ^{3}\varphi \ ,\qquad 0\leq \varphi <2\pi$

将 $x(\varphi )$ 和 $y(\varphi )$ 代入以下方程

• $(x^{2}+y^{2}-4a^{2})^{3}=108a^{4}y^{2}$

可知上述方程即为肾形线的隐函数表示式。

若尖点是在Y轴上，则参数式为

$x=3a\cos \varphi +a\cos 3\varphi ,\quad y=3a\sin \varphi +a\sin 3\varphi ).$

隐函数表示式为

$(x^{2}+y^{2}-4a^{2})^{3}=108a^{4}x^{2}.$

性质

上述的肾形线，有以下的性质

• 弧长为$L=24a,$
• 面积为$A=12\pi a^{2}\$
• 曲率半径为 $\rho =|3a\sin \varphi |.$

参考资料

• Arganbright, D., Practical Handbook of Spreadsheet Curves and Geometric Constructions, CRC Press, 1939, ISBN 0-8493-8938-0, p. 54.
• Borceux, F., A Differential Approach to Geometry: Geometric Trilogy III, Springer, 2014, ISBN 978-3-319-01735-8, p. 148.
• Lockwood, E. H., A Book of Curves, Cambridge University Press, 1961, ISBN 978-0-521-0-5585-7, p. 7.

外部链接

• Mathworld: nephroid （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Xahlee: nephroid （页面存档备份，存于互联网档案馆）