超积

数学上，超积（英语：ultraproduct）是常见于抽象代数和数理逻辑（尤其模型论和集合论）的构造。超积是一族无穷多个结构之直积的商结构，不过要求该族结构具有相同的表征。超幂（英语：ultrapower）则是超积中各因子为同一个结构的特殊情况。

举例，给定一个域，可以用超幂构造出新的域。超实数域便是实数域的超幂之一。

超积有一些出奇的应用。用超积，可以写出紧致性定理与完备性定理的优雅证明。开斯勒的超幂定理，从代数角度刻划了“初等等价”此种语义概念。亚伯拉罕·鲁滨逊和埃利亚斯·扎孔（Elias Zakon）用超结构及其单同态的表示来构造分析的非标准模型，使非标准分析理论得以发展。鲁滨逊正是用紧致性定理开拓此分支。

定义

超积的一般定义中，先选定指标集$I$、对应每个下标$i\in I$的结构${\mathcal {M}}_{i}$（具相同的表征），以及$I$上的超滤子${\mathcal {U}}$。通常仅考虑$I$为无穷集，且${\mathcal {U}}$不为主超滤子的情况，即${\mathcal {U}}$的元素有齐$I$的全部余有限子集，但无任何有限子集。原因是，在主超滤子的情况下，所得的超积只会与其中一个因子同构，并无新的性质。

笛卡儿积

$\prod _{i\in I}{\mathcal {M}}_{i}$

上的代数运算，是逐点计。例如，对于二元运算$+$，$({\boldsymbol {a}}+{\boldsymbol {b}})_{i}=a_{i}+b_{i}$。然后，在笛氏积上，定义等价关系$\sim$，使${\boldsymbol {a}}\sim {\boldsymbol {b}}$当且仅当

$\left\{i\in I:a_{i}=b_{i}\right\}\in {\mathcal {U}}$

（应当理解为“${\boldsymbol {a}}$与${\boldsymbol {b}}$在大多数位置相等”）。

最后，所得的超积，是模$\sim$的商集。所以，该超积有时记为

$\prod _{i\in I}{\mathcal {M}}_{i}/{\mathcal {U}}.$

另一种看法是，在指标集$I$上，定义一个有限可加的测度$m$（弱于一般可数可加的条件），仅取$0,1$二值，若$A\in {\mathcal {U}}$则称$m(A)=1$，否则称$m(A)=0$。然后在笛氏积中，两个元素若在几乎每个下标处皆相等，则视为等同。超积是如此生成的等价类的集合。

其他关系同理可作引申：

$R([{\boldsymbol {a}}^{1}],\ldots ,[{\boldsymbol {a}}^{n}])\iff \left\{i\in I:R^{{\mathcal {M}}_{i}}(a_{i}^{1},\ldots ,a_{i}^{n})\right\}\in {\mathcal {U}},$

其中$[{\boldsymbol {a}}]$表示${\boldsymbol {a}}$模$\sim$所属的等价类。

特别地，若每个${\mathcal {M}}_{i}$皆为有序域，则所得的超积亦然。

所谓超幂，意思是所有因子${\mathcal {M}}_{i}$皆相等的超积：

${\mathcal {M}}^{I}/{\mathcal {U}}=\prod _{i\in I}{\mathcal {M}}/{\mathcal {U}}.\,$

也可以推广到${\mathcal {U}}$不为超滤子，而仅为$I$上普通一个滤子的情况。此时所得的模型$\prod _{i\in I}{\mathcal {M}}_{i}/{\mathcal {U}}$称为约化积（英语：reduced product）。

例子

超实数系是可数无穷多个（以自然数集编号）实数系的超积，其中所选的超滤子含有全部余有限集。超实数系的大小次序扩展了实数之间的大小次序。例如，$\omega _{n}=n$的序列$(\omega _{n})$所在的等价类，记为超实数$\omega$，比任意实数都要大，因为对于任意实数$r$，$(\omega _{n})$除有限项外皆比$r$大。于是，$\omega$可以理解成无穷大数。

类似地，可以定义非标准整数系、非标准复数系等，为相应标准结构的超积。

又考虑以下例子，以便理解超积中关系的定义。设超实数$\psi$为序列$\psi _{n}=2n$所在的等价类。由于对每个$n$都有$\psi _{n}>n=\omega _{n}$，在超积中，有$\psi >\omega$，所以$\psi$是较原先构造出的$\omega$更大的无穷大数。又考虑与$\omega _{n}=n$类似的序列$(\chi _{n})$，令$n\neq 7$时，$\chi _{n}=n$，但$\chi _{7}=8$。则虽然两个序列$(\chi _{n})\neq (\omega _{n})$，但两者仅在有限个下标处不相等，故两者相等的下标集合是超滤子的元素（因为是余有限集），从而作为等价类，有$\omega =\chi$。

大基数论中，有个标准构造是小心选取超滤子${\mathcal {U}}$，然后取整个集合论全类关于${\mathcal {U}}$的超积。此时，${\mathcal {U}}$的性质，对于所得超积的（高阶）性质影响很大。例如，若${\mathcal {U}}$可数完备，则相应的超积仍是良基的。该范例在可测基数 § 定义有提及。

沃希定理

沃希定理（英语：Łoś's theorem），又称超积基本定理，由耶日·沃希所证（波兰语发音：[ˈjɛʐɨ ˈwɔɕ]）。定理断言，任何一条一阶逻辑式在超积$\prod {\mathcal {M}}_{i}/{\mathcal {U}}$中为真，当且仅当使该公式在${\mathcal {M}}_{i}$中成立的指标$i$的集合，是${\mathcal {U}}$的元素。后一个条件，可以直观理解为“大多数”${\mathcal {M}}_{i}$皆认为该公式为真。严谨叙述如下：

设有表征$\sigma$，指标集$I$，其上的超滤子${\mathcal {U}}$，且对每个$i\in I$，有$\sigma$结构${\mathcal {M}}_{i}$。又设${\mathcal {M}}$为${\mathcal {M}}_{i}$关于${\mathcal {U}}$之超积，即${\mathcal {M}}=\prod _{i\in I}{\mathcal {M}}_{i}/{\mathcal {U}}$。则对任意$n$个多元组$a^{1},\ldots ,a^{n}\in \prod {\mathcal {M}}_{i}$，其中$a^{k}=(a_{i}^{k})_{i\in I}$，以及对任意$\sigma$公式$\varphi$，

${\mathcal {M}}\models \varphi (a^{1},\ldots ,a^{n})\iff \left\{i\in I:{\mathcal {M}}_{i}\models \varphi (a_{i}^{1},\ldots ,a_{i}^{n})\right\}\in {\mathcal {U}}.$

定理对公式$\varphi$的复杂度归纳得证。${\mathcal {U}}$为超滤子（而不仅是滤子）的性质，在加入否定的一步用到。而在加存在量词的一步，要用到选择公理。应用定理可得超实域的转移原理。

实例

设$R$为结构${\mathcal {M}}$上的一元关系，并构造${\mathcal {M}}$的超幂。则集合$S=\{x\in {\mathcal {M}}:{\mathcal {M}}\models Rx\}$在超幂中有对应的子集${}^{*}S$，而在${\mathcal {M}}$中，对$S$量化且为真的一阶公式，将$S$换成${}^{*}S$后，仍在超幂中成立。例如，设${\mathcal {M}}=\mathbb {R}$为实数集。设$Rx$表示“$x$为有理数”。则在${\mathcal {M}}$中，对每对有理数$x<y$，总有无理数$z$介于两者之间。即：

${\mathcal {M}}\models (\forall x)(\forall y)(Rx\wedge Ry\wedge (x<y)\implies (\exists z)(\neg Rz\wedge x<z<y)).$

既然有理数集$S$此一性质可以写成一阶命题，沃希定理推出，超有理数集${}^{*}S$仍有同一性质，即任意两个超有理数之间，有一个不为超有理数的超实数（“超无理数”）。更一般地，超有理数集与有理数集具有完全一样的一阶性质。

然而，考虑实数的阿基米德性质，即不存在实数$x$同时满足$x>1,\ x>1+1,\ x>1+1+1,\ \ldots$此列无穷多条不等式。阿基米德性质无法用一阶逻辑表示，所以，沃希定理不适用于此性质，不能推导出超实数满足阿基米德性质。正好相反，超实数不满足阿基米德性质，例如前一节构造的超实数$\omega$，就比$1,\ 1+1,\ 1+1+1,\ \ldots$都要大。

超幂的正极限（超极限）

关于一列度量空间的超积，请见“超极限”。

模型论和集合论中，常考虑一列超幂的正极限（范畴论的余极限）。模型论中，此构造称为超极限（英语：ultralimit）或极限超幂（英语：limiting ultrapower）。

从某结构${\mathcal {A}}_{0}$和超滤子${\mathcal {U}}_{0}$开始，构造出超幂${\mathcal {A}}_{1}$，并重复，得到${\mathcal {A}}_{2}$等。对每个$n$，有典范对角嵌入${\mathcal {A}}_{n}\hookrightarrow {\mathcal {A}}_{n+1}$。在极限阶段，如${\mathcal {A}}_{\omega }$，取此前所有结构的正极限，如此便可取超限多次超幂。

参见

• 紧致性定理——若可满足一族一阶句子的任意有限条，则可全部满足
• 勒文海姆–斯科伦定理——一阶理论无法控制无穷模型的大小
• 转移原理

参考资料

• Bell, John Lane; Slomson, Alan B. Models and Ultraproducts: An Introduction [模型与超积：导论] reprint of 1974. Dover Publications. 2006 [1969]. ISBN 0-486-44979-3 （英语）. 
• Burris, Stanley N.; Sankappanavar, H.P. A Course in Universal Algebra [泛代数教程] Millennium. 2000 [1981] [2021-10-23]. （原始内容存档于2005-01-23） （英语）.