量子耗散的研究目标是在量子力学的基础上推导出经典耗散定律。量子耗散与量子退相干有紧密联系。它在量子力学的层面上研究了能量的不可逆损耗。
量子力学建立在哈密顿量的基础上,系统总能量守恒,原则上讲,这样的系统不可能描述能量耗散过程。为了克服这个局限性,将系统分作两部分,一部分是能量发生耗散的系统,一部分叫做“浴”,即该系统所处的环境,系统耗散掉的能量将会流入浴中。系统与浴的耦合取决于描述浴的微观细节。为了不可逆的能量流动,浴含有无数个自由度。
1963年,费曼与Vernon的文章里给出了关于浴的最简单的模型,浴被看作是由无数个谐振子组成的集合。量子力学中,谐振子可用于描述自由玻色子。
Caldeira-Leggett 模型[编辑]
1981年,Amir Caldeira 和 Anthony J. Leggett 提出了一个简单模型,从量子角度深入解释了耗散过程。[1]该模型描述了一维的系统与浴的耦合。其哈密顿量为
,
前两项是系统的哈密顿量,第三项是浴的哈密顿量,代表了无数个谐振子之和。第四项描述了系统与浴的相互作用,在Caldeira-Leggett模型中,耦合与系统位置有关,而第五项则用于保证耗散最终在空间中是各向同性的。因为浴与系统的耦合依赖于系统坐标,如果不包含第五项,模型不能满足平移不变性,这将导致系统与浴的相互作用与系统所处位置有关。
为了更方便的对浴建模,通常使用浴的谱密度函数
![{\displaystyle J(\omega )={\frac {\pi }{2}}\sum _{i}{\frac {C_{i}^{2}}{m_{i}\omega _{i}}}\delta (\omega -\omega _{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/150ae1c1d26412b6b567387958c3541208f593eb)
当趋近于经典极限时,即
时,通过路径积分计算,对所有浴的自由度积分可获得系统在浴的平均作用下的有效动力学,可得到如下运动方程
![{\displaystyle M{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}X(t)=-{\frac {\partial V(X)}{\partial X}}-\int _{0}^{T}dt'\alpha (t-t')(X(t)-X(t'))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55715bb6c2ebf755c61c3b33af21710982ba012b)
其中,
![{\displaystyle \alpha (t-t')={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }J(\omega )e^{-\omega |t-t'|}d\omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d2e349b0703396003c21e4f2b37e1b9fc68f804)
描述了耗散过程存在下影响粒子运动的有效力。对于马可夫浴,即浴与系统相互作用只与当前状态有关,以及欧姆耗散,上述方程简化为经典粒子在摩擦力作用下的运动方程
![{\displaystyle M{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}X(t)=-{\frac {\partial V(X)}{\partial X}}-\eta {\frac {dX(t)}{dt}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a071a8e37e20c00d2a19e98262b5c545a7885c0)
因此,人们可以通过 Caldeira-Leggett 模型从量子角度解释经典耗散过程。
参考文献[编辑]
- ^ A. Caldeira and A. J. Leggett, Influence of dissipation on quantum tunneling in macroscopic systems, Phys. Rev. Lett., vol. 46, p. 211, 1981