麦克斯韦模型(英语:Maxwell model)是用于描述材料粘弹性的一种模型。麦克斯韦由一个纯弹性的弹簧和一个纯黏性的黏壶(阻尼器)串联而成,其中的弹簧符合胡克定律,用于描述材料的弹性方面性质;而黏壶符合牛顿流体特征,代表黏性方面性质[1]。1867年,詹姆斯·麦克斯韦提出了这一模型,符合这一模型的流体也被称为麦克斯韦流体。如果将弹簧和黏壶并联,则被称为开尔文-沃伊特模型[2]。
如下图所示,麦克斯韦模型可以被表示为一个纯黏性的黏壶(阻尼器)和一个纯弹性的弹簧串联而成的结构[2]。按照这一设计,当模型受到轴向应力时,总应力、弹簧上应力和黏壶应力应该相等,而总应变应该等于两者应变之和,即[1]
![{\displaystyle \sigma _{\mathrm {Total} }=\sigma _{D}=\sigma _{S}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ea4fec64f56fce016b6c3502c8bf7869ee20edc)
![{\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {Total} }=\varepsilon _{D}+\varepsilon _{S}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e391e20f7c9697ac5c2f0e31859ca0013b9b7e3c)
此处的角标D表示黏壶(dashpot)而s表示弹簧(spring)。若将应变对时间求导,并考虑纯弹性弹簧满足胡克定律,纯黏性黏壶为牛顿流体,就可以得到
![{\displaystyle {\frac {d\varepsilon _{\mathrm {Total} }}{dt}}={\frac {d\varepsilon _{D}}{dt}}+{\frac {d\varepsilon _{S}}{dt}}={\frac {\sigma }{\eta }}+{\frac {1}{E}}{\frac {d\sigma }{dt}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b58ca13a2036c0bc5ed5bedde21a85f7379bc1b)
其中 E表示弹性模量而η是材料的黏度。
如果用上点表示变化速率,该式也可以写作[1]
![{\displaystyle {\frac {\dot {\sigma }}{E}}+{\frac {\sigma }{\eta }}={\dot {\varepsilon }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d27cc4a704833d5aab8d27bd0f709d0da5d42fb6)
麦克斯韦模型通常用于小应变的情况,如果应变较大,会形成几何上的非线性关系,需要进行扩展。
应力松弛[编辑]
如果在麦克斯韦模型上施加一个突然的应变,并将该应变保持一段时间,测量其应力变化,就会发现应力随时间增长呈现指数型衰减的特征,这被称为应力松弛。
The picture shows dependence of dimensionless stress
upon dimensionless time
:
如果我们放开该材料,那么到
时刻,其中的弹性部分可以完全回复如初,而黏性部分的应变不能完全恢复,可求得此时的应变为:
![{\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {back} }=-{\frac {\sigma (t_{1})}{E}}=\varepsilon _{0}\exp \left(-{\frac {E}{\eta }}t_{1}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/210fccd894e7f27384ce6f1a31280b9592a3a046)
其中不可恢复的应变为
![{\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {irreversible} }=\varepsilon _{0}\left(1-\exp \left(-{\frac {E}{\eta }}t_{1}\right)\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98dc7262623ef7529fa646e070d149c54bb194e1)
参考文献[编辑]
- ^ 1.0 1.1 1.2 Roylance, David. Engineering Viscoelasticity (PDF). Cambridge, MA 02139: Massachusetts Institute of Technology. 2001: 8–11 [2018-12-24]. (原始内容存档 (PDF)于2018-06-18).
- ^ 2.0 2.1 Christensen, R. M. Theory of Viscoelasticity. London, W1X6BA: Academic Press. 1971: 16–20.