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乘積法則

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乘積法則(英語:Product rule),也稱積定則萊布尼茲法則,是數學中關於兩個函數的導數的一個計算法則。

若已知兩個可導函數及其導數,則它們的積的導數為:

這個法則可衍生出積分分部積分法

萊布尼茲的發現

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人們將這個法則的發現歸功於萊布尼茲,以下是他的論述:設u(x)和v(x)為x的兩個可導函數。那麼,uv的微分是:

由於du·dv可忽略性法語Négligeabilité,因此有:

兩邊除以dx,便得:

若用拉格朗日符號來表達,則等式記為

例子

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  • 假設我們要求出f(x) = x2 sin(x)的導數。利用乘積法則,可得f'(x) = 2x sin(x) + x2cos(x)(這是因為x2的導數是2x,sin(x)的導數是cos(x))。
  • 乘積法則的一個特例,是「常數因子法則」,也就是:如果c實數f(x)是可微函數,那麼cf(x)也是可微的,其導數為(c × f)'(x) = c × f '(x)。
  • 乘積法則可以用來推出分部積分法除法定則

證明一:利用面積

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假設

fgx點可導。那麼:

現在,以下的差

是圖中大矩形的面積減去小矩形的面積。

這個區域可以分割為兩個矩形,它們面積的和為:

因此,(1)的表達式等於:

如果(5)式中的四個極限都存在,則(4)的表達式等於:

現在:

因為當wx時,f(x)不變;

因為gx點可導;

因為fx點可導;以及

因為gx點連續(可導的函數一定連續)。

現在可以得出結論,(5)的表達式等於:

證明二:使用對數

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f = uv,並假設uv是正數。那麼:

兩邊求導,得:

把等式的左邊乘以f,右邊乘以uv,即得:

證明三:使用導數的定義

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fgx點可導。那麼:

.

推廣

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  • 若有個函數,則:
  • 萊布尼茲法則)若均為可導次的函數,則次導數為:

其中二項式係數

應用

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乘積法則的一個應用是證明以下公式:

其中n是一個正整數(該公式即使當n不是正整數時也是成立的,但證明需要用到其它方法)。我們用數學歸納法來證明這個公式。如果n = 1,

假設公式對於某個特定的k成立,那麼對於k + 1,我們有:

因此公式對於k + 1也成立。

參見

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