二階導數的對稱性

二階導數的對稱性，也稱為混合導數的相等，或楊定理（英語：Young's theorem），指取一個n元函數

$f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$

的偏導數可以交換。如果關於$x_{i}$的偏導數用一個下標$i$表示，則對稱性斷言二階偏導數$f_{ij}$滿足等式

$f_{ij}=f_{ji}$

從而它們組成一個n×n 對稱矩陣。

黑塞矩陣是典型對稱的

f的二階偏導數稱為f的黑塞矩陣。主對角線之外的元素是混合導數；即關於不同兩個變量相繼之導數。

在最正常的情形黑塞矩陣實際上是對稱矩陣；但從數學分析的觀點來看這不是一個安全的論述，在特定一個點除了二階導數的存在之外還需進一步的假設。克萊羅定理給出了關於f的一個充分條件使其成立。

對稱性的正式表述

用符號表示，對稱性說，例如

${\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)$。

這個等式也可寫成

$\partial _{xy}f=\partial _{yx}f$。

或者，此對稱性可利用微分算子D_i寫成一個代數論述，D_i是關於x_i取偏導數：

D_i . D_j = D_j . D_i.

由這個關係得知由D_i生成的常係數微分算子環是交換的。但須自然地設定這些算子的一個定義域。容易驗證對單項式對稱性成立，從而我們可取x_i的多項式為定義域。事實上光滑函數也行。

克萊羅定理

提示：此條目的主題不是大地測量學、地球物理學領域中的克萊羅定理。

在數學分析中，克萊羅定理（Clairaut's theorem）或施瓦茲定理（Schwarz's theorem），以亞歷克西·克萊羅與赫爾曼·施瓦茲命名，斷言如果

$f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$

在$\mathbb {R} ^{n}$中任何一點 $(a_{1},\dots ,a_{n})$有連續二階偏導數，則對$\forall i,j\in \mathbb {N} \backslash \{0\}:i,j\leq n,$

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(a_{1},\dots ,a_{n})={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\,\partial x_{i}}}(a_{1},\dots ,a_{n}).$

換句話說，這個函數在那一點的偏導數交換。確立這個定理的一個簡單方法（當n = 2, i = 1，且j = 2，很容易推到一般）是運用格林定理求f的梯度。

克萊羅常數

這個定理的一個副產品是克萊羅常數（Clairaut's constant，亦稱卡羅拉公式或克萊羅參數），涉及球面大圓上一點的維度與方位角。一個特定大圓等於它在赤道處的方位角，或弧道路，${\widehat {\mathrm {A} }}\,\!$：

$\sin({\widehat {\mathrm {A} }})={\Big |}\cos(\phi _{q})\sin({\widehat {\alpha }}_{q}){\Big |}.\,\!$

分布理論描述

也可利用分布理論迴避有這種對稱性的解析問題。首先任何函數的導數（假設可積）可以定義為一個分布。第二分部積分將對稱性問題丟給測試函數，這是光滑的當然滿足對稱性。從而，在分布的意義下，對稱性總滿足。（另一個方法，若定義了函數的傅立葉變換，注意到在變換中偏導數成為更顯然交換的乘法算子）。

對稱性的要求

當函數不滿足克萊洛定理的前提的時候，例如其導數不連續，則不存在對稱性。

這個函數$f(x,y)$在它的原點沒有對稱的二階導數

展示非對稱的一個例子如下：

$f(x,y)={\begin{cases}{\frac {xy(x^{2}-y^{2})}{x^{2}+y^{2}}}&{\mbox{ for }}(x,y)\neq (0,0)\\0&{\mbox{ for }}(x,y)=(0,0).\end{cases}}$

儘管這個函數處處連續，但它的代數導函數在原點沒有定義。沿著x軸的其他地方y的導數為$\partial _{y}f|_{(x,0)}=x$，所以

$\partial _{x}\partial _{y}f|_{(0,0)}=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {\partial _{y}f|_{(\epsilon ,0)}-\partial _{y}f|_{(0,0)}}{\epsilon }}=1$。

反之亦然，沿著y軸的其他地方x的導數為$\partial _{x}f|_{(0,y)}=-y$，所以$\partial _{y}\partial _{x}f|_{(0,0)}=-1$。那就是說，在(0,0)處$\partial _{xy}f\neq \partial _{yx}f$，儘管f的混合導數存在，且在$(0,0)$之外處處連續。注意到它與克萊羅定理並不矛盾，因為導數在(0,0)不連續。一般地，極限運算的交換未必交換，兩個變量情形下，在(0, 0)附近考慮

$f(h,k)-f(h,0)-f(0,k)+f(0,0)$

的兩個極限過程，先令h → 0以及先令k → 0。這兩個過程未必交換（參見極限運算的交換）：看最先作用的那個一階項。可以構造出二階導數的對稱性不成立的病態例子。若導數作為施瓦茲分布是對稱的，這類例子屬於實分析中的精細理論，逐點值在其中起作用。當看作一個分布的時候，二階導數值可以在任意點集中的改變，只要Lebesgue測度為$0$。由於在這個例子中，黑塞矩陣在$(0,0)$外所有點對稱，Hessian矩陣看作施瓦茨分布是對稱的事實，不存在矛盾。

李理論

更高級的一個討論是這樣的：考慮一階微分算子D_i為歐幾里得空間中的無窮小算子。即D_i在某種意義下生成平行於x_i-軸平移的單參數群。顯然這些群互相交換，從而我們希望無窮小生成元也交換；李括號

[D_i, D_j] = 0

便是其反映的方式。或者說，一個坐標關於另一個坐標的李導數是零。