初值問題

在數學裏，初值問題是一個涉及微分方程式與一些初始條件的問題；這初始條件是微分方程式的未知函數在某些點的設定值。

以下是一些初值問題的例子：

$y'=0.85y,\qquad y(0)=19$

${\dot {y}}+3y=6t+5,\qquad y(0)=3$

定義

一個初值問題涉及微分方程式

$y'(t)=f(t,\ y(t))\quad {\text{with}}\quad f:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} \,\!$ ，

與在 $f\,\!$ 的定義域內的一點

$(t_{0},\ y_{0})\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} \,\!$ 。

這在 $f\,\!$ 的定義域內的點 $(t_{0},\ y_{0})\,\!$ 稱為初始條件。

• 假若初值問題的一個解是函數 $y\,\!$ ，則 $y\,\!$ 是微分方程式 $y'(t)=f(t,\ y(t))\,\!$ 的解，滿足 $y(t_{0})=y_{0}\,\!$ 。

• 對於更高階的問題，可視 $\mathbf {y} \,\!$ 為向量。每加高一個階，就増添一個分量給 $\mathbf {y} \,\!$ 。

解的存在性及唯一性

對於許多的初值問題，解的存在性及唯一性可以用計算機來描述。

若ƒ在一個包括t₀及y₀的區間內連續，且對變數y滿足利普希茨連續的條件．則皮卡-林德勒夫定理可保證在一個包括t₀的區間有唯一解。

此定理的證明需將問題變成等價的積分方程，積分可視為將一個函數映射為另一個函數的運算子，因此其解為運算子的不動點，再利用巴拿赫不動點定理證明有一個唯一的不動點．即為初值問題的解。

較早期證明皮卡-林德勒夫定理的方式是建構一個函數的數列，最終會收斂到積分方程的解，也就是初值問題的解。這種建構法稱為「皮卡法」或是「連續近似法」，是巴拿赫不動點定理的一個特例。

日本數學家岡村博找到一個初值問題有唯一解的充分必要條件，其條件是要證實系統的李亞普諾夫函數存在。

有些情形，函數ƒ不是光滑函數，甚至不是利普希茨連續，因此一般可確認局部唯一解的方式無法適用。皮亞諾存在性定理可以在函數ƒ僅僅為連續函數的情形，證明存在局部解。不過此時無法證明解的唯一性。卡拉特歐多存在性定理可適用的範圍更廣，可以在ƒ是一些特定不連續函數的情形下證明局部解是否存在。

範例

例一

一個簡單的範例是求解$y'=0.85y$及$y(0)=19$，要求出一個$y(t)$滿足上述二式。

由於$y'={\frac {dy}{dt}}$，因此

${\frac {dy}{dt}}=0.85y$

接下來重新整理方程式，使$y$在等式左邊，$t$在等式右邊

${\frac {dy}{y}}=0.85dt$

再將等式二邊積分，會引入未知常數$B$

$\ln |y|=0.85t+B$

消去$\ln$

$|y|=e^{B}e^{0.85t}$

令$C$為一個新的未知常數，$C=\pm e^{B}$，因此

$y=Ce^{0.85t}$

現在需要找出$C$的數值。利用$y(0)=19$的啟始條件，將$t$代入0，$y$代入19

$19=Ce^{0.85*0}$

$C=19$

因此可得其解為$y(t)=19e^{0.85t}$.

例二

${\dot {y}}+3y=6t+5,\qquad y(0)=3$

利用拉普拉斯變換

$sY(s)-y(0)+3Y(s)={\frac {6}{s^{2}}}+{\frac {5}{s}}$

$\therefore Y(s)={\frac {y(0)s^{2}+5s+6}{s^{2}(s+3)}}$

利用部分分式分解

$Y(s)={\frac {\alpha }{s}}+{\frac {\beta }{s^{2}}}+{\frac {\gamma }{s+3}}$

$\alpha =1,\beta =2,\gamma =y(0)-1$

$Y(s)={\frac {1}{s}}+{\frac {2}{s^{2}}}+{\frac {y(0)-1}{s+3}}$

拉普拉斯逆變換

$y(t)=2e^{-3t}+2t+1\,$

參閱

• 邊值問題
• 柯西問題