可平行化流形

數學中，一個 n 維光滑流形 M 為可平行化流形 是指具有向量場

V₁, ..., V_n,

使得在 M 中任何一點 P 的切向量

V_{i, P}

組成 P 點切空間的一組基。等價地說，切叢是平凡叢，所以相伴的線性標架主叢有一個 M 的整體截面。

選取 M 上這樣特定的一組向量場的基稱為 M 的一個平行化或絕對平行化。

例子

n=1 的一個例子是圓周：我們取 V₁ 為單位切向量場，比如都指向逆時針方向。n 維環面也可以平行化，因為可以看作是圓周的笛卡爾積。譬如取 n=2，將正方形坐標紙的對邊粘貼起來便組成了一個環面，取每個點的兩個切方向即可。更一般地，任何李群 G 可平行化，因為在單位元的切空間上一組基可以通過變換群 G 在 G 上的作用移到任何一點。（任何變換是一個微分同胚從而這些微分同胚誘導了 G 上點的切空間的一個線性同構。）

一個經典問題是確定一個球面 Sⁿ 是否可平行化。S¹ 即為圓周，可以平行化已經解釋了。毛球定理指出 S^{2 n} 不能平行化。但是 S³ 可以平行化，因為它就是李群 SU(2)。剩下惟一可平行化的球面是 S⁷；1958年被 Michel Kervaire 證明，拉烏爾·博特和約翰·米爾諾也獨立地得到了這個結論。

注

• 術語標架流形（或裝備流形）通常用於給定了一個法叢的平凡化的嵌入流形。