柯西-比內公式

線性代數中，柯西-比內公式（Cauchy–Binet formula）將行列式的可乘性（兩個方塊矩陣的行列式等於兩個行列式的乘積）推廣到非方塊矩陣。

假設 A 是一個 m×n 矩陣，而 B 是一個 n×m 矩陣。如果 S 是 { 1, ..., n } 中具有 m 個元素的子集，我們記 A_S 為 A 中列指標位於 S 中的 m×m 子矩陣。類似地，記 B_S 為 B 中行指標位於 S 中的 m× m 子矩陣。柯西-比內公式說

$\det(AB)=\sum _{S}\det(A_{S})\det(B_{S})\,$

這裡求遍 { 1, ..., n } 中 m 個元素的所有可能子集 S（共有 C(n,m) 個）。

如果 m = n，即 A 與 B 是同樣大小的方塊矩陣，則只有一個容許集合 S，柯西-比內公式退化為通常行列式的可乘性。如果 m = 1 則有 n 容許集合 S，這個公式退化為點積。如果 m > n，沒有容許集合 S，行列式 det(AB) 是零（參見空和（empty sum））。

這個公式對矩陣元素取值於任何交換環都成立。證明可將 AB 的列寫成係數來自 B 的 A 的列的線性組合，利用行列式的可乘性，將屬於一個 det(A_S) 的項收集起來，並利用行列式的反對稱性。利用行列式的萊布尼茲公式，得出 det(A_S) 的係數是 det(B_S)。這個證明沒有利用行列式的可乘性，相反這個證明建立了它。

如果 A 是一個實 m×n 矩陣，則 det(A A^T) 等於由 A 中行向量在 Rⁿ 中張成的平行多面體 m-維體積的平方。柯西-比內公式說這等於該平行多面體在所有 m-維坐標平面（共有 C(n,m) 個）的正交投影的平行多面體的 m-維體積的平方之總和。m=1 的情形是關於一條線段的長度，這恰是畢達哥拉斯定理。

柯西-比內公式可直接推廣到兩個矩陣乘積的子式的一個一般公式。該公式在子式一文給出。

例

如果 $A={\begin{bmatrix}1&1&2\\3&1&-1\\\end{bmatrix}}$ 與 $B={\begin{bmatrix}1&1\\3&1\\0&2\end{bmatrix}}$ 則柯西-比內公式給出行列式：

$\det(AB)=\left|{\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}}\right|\cdot \left|{\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}}\right|+\left|{\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}}\right|\cdot \left|{\begin{matrix}3&1\\0&2\end{matrix}}\right|+\left|{\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}}\right|\cdot \left|{\begin{matrix}1&1\\0&2\end{matrix}}\right|=-28.$

外部連結

• 柯西-比內公式的簡單組合證明 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）