梅滕斯函數
梅滕斯函數（Mertens function）為一數論中的函數，針對所有正整數n定義，得名自弗朗茨·梅滕斯，梅滕斯函數定義如下
- ，
其中μ是默比烏斯函數。
上述定義也可以延伸到實數：
以較不嚴謹的說法來看，M(n)是計算到n為止的無平方數因數的數，其中有偶數個質因數的個數，減去有奇數個質因數的個數。
梅滕斯函數的值及其零點
[編輯]| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| M(n) | 1 | 0 | -1 | -1 | -2 | -1 | -2 | -2 | -2 | -1 | -2 | -2 | -3 | -2 | -1 | -1 | -2 | -2 | -3 | -3 |
| n | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 |
| M(n) | -2 | -1 | -2 | -2 | -2 | -1 | -1 | -1 | -2 | -3 | -4 | -4 | -3 | -2 | -1 | -1 | -2 | -1 | 0 | 0 |
| n | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 |
| M(n) | -1 | -2 | -3 | -3 | -3 | -2 | -3 | -3 | -3 | -3 | -2 | -2 | -3 | -3 | -2 | -2 | -1 | 0 | -1 | -1 |
| n | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |
| M(n) | -2 | -1 | -1 | -1 | 0 | -1 | -2 | -2 | -1 | -2 | -3 | -3 | -4 | -3 | -3 | -3 | -2 | -3 | -4 | -4 |
| n | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 |
| M(n) | -4 | -3 | -4 | -4 | -3 | -2 | -1 | -1 | -2 | -2 | -1 | -1 | 0 | 1 | 2 | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| n | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 |
| M(n) | 0 | -1 | -2 | -2 | -3 | -2 | -3 | -3 | -4 | -5 | -4 | -4 | -5 | -6 | -5 | -5 | -5 | -4 | -3 | -3 |
| n | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 |
| M(n) | -3 | -2 | -1 | -1 | -1 | -1 | -2 | -2 | -1 | -2 | -3 | -3 | -2 | -1 | -1 | -1 | -2 | -3 | -4 | -4 |
| n | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 |
| M(n) | -3 | -2 | -1 | -1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | -1 | -1 | -1 | -2 | -1 | -1 | -2 | -1 | 0 | 0 |
梅滕斯函數緩慢的增長及減少，不論其平均值或是峰值都有類似特性，其函數以類似混沌的方式,在零的上下變化，梅滕斯函數在以下幾點的數值為零：
- 2, 39, 40, 58, 65, 93, 101, 145, 149, 150, 159, 160, 163, 164, 166, 214, 231, 232, 235, 236, 238, 254, ... （OEIS數列A028442）.
實際計算
[編輯]利用類似質數計算的埃拉托斯特尼篩法，可以隨著n的增加，計算梅滕斯函數
| 計算者 | 年份 | 上限 |
| Mertens | 1897 | 104 |
| von Sterneck | 1897 | 1.5×105 |
| von Sterneck | 1901 | 5×105 |
| von Sterneck | 1912 | 5×106 |
| Neubauer | 1963 | 108 |
| Cohen and Dress | 1979 | 7.8×109 |
| Dress | 1993 | 1012 |
| Lioen and van de Lune | 1994 | 1013 |
| Kotnik and van de Lune | 2003 | 1014 |
所有不大於N正整數的梅滕斯函數可以在用O(N2/3+ε)時間內算出來，不過已知有更好的演算法。有基本的演算法可以計算單獨的M(N)，時間複雜度為O(N2/3*(ln ln(N))1/3)。
梅滕斯猜想和黎曼猜想
[編輯]因為默比烏斯函數的數值只有-1、0及+1，因此梅滕斯函數緩慢的變化，不存在正整數n使得|M(n)| > n。梅滕斯猜想更進一步，認為不存在正整數n使得梅滕斯函數的絕對值超過數值的平方根。梅滕斯猜想是由湯姆斯·斯蒂爾吉斯在一封於1885年寫給夏爾·埃爾米特與弗朗茨·梅滕斯的信中提出的，已在1985年被安德魯·奧德里茲科與赫爾曼·特里爾證否[1]。
黎曼猜想等價於較弱型式的梅滕斯猜想M(n) = O(n1/2 + ε)。因為較高的M(n)成長的速度至少和n的平方根一様快，因此可以對成長速率定出上下限。此處的O為大O符號。
參見
[編輯]參考資料
[編輯]- ^ Odlyzko, A. M.; te Riele, H. J. J., Disproof of the Mertens conjecture (PDF), Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1985, 357: 138–160 [2015-07-25], ISSN 0075-4102, MR 0783538, Zbl 0544.10047, doi:10.1515/crll.1985.357.138, （原始內容存檔 (PDF)於2015-09-12）
- Edwards, Harold. Riemann's Zeta Function. Mineola, New York: Dover. 1974. ISBN 0-486-41740-9.
- F. Mertens, "Über eine zahlentheoretische Funktion", Akademie Wissenschaftlicher Wien Mathematik-Naturlich Kleine Sitzungsber, IIa 106, (1897) 761–830.
- 埃里克·韋斯坦因. Mertens function. MathWorld.
- Jose Javier Garcia Moreta. Borel Resummation & the Solution of Integral Equations. [2015-07-26]. （原始內容存檔於2015-07-25）.
- Sloane, N.J.A. (編). Sequence A002321 (Mertens's function). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
- Marc Deléglise, Joöl Rivat. Computing the Summation of the Möbius Function.. Experiment. Math. 1996, 2: 291–295 [2015-07-25]. （原始內容存檔於2015-07-26）.