演員模型的指稱語義

演員模型的指稱語義（Denotational semantics of the Actor model）是演員的指稱域理論的研究主題。這個主題的歷史發展參見指稱語義的歷史。

演員不動點語義

計算系統語義的指稱理論關心找到表示系統作為的數學物件。這個理論利用了計算數學域。這種計算域的例子是偏函數和演員事件圖場景。

關係 x≤y 意味著 x 可以計算演進為 y。如果指稱是偏序函數，比如 f≤g 可以意味著 f 一致於 g 在 f 在其上定義的所有值上。如果指稱是演員事件圖場景，x≤y 意味著滿足 x 的系統可以演進到滿足 y 的一個系統。

計算域有下列性質:

1. 底存在。域有最小元素指示為 ⊥ 使得對於所有域中元素 x 有 ⊥≤x。
2. 極限存在。隨著計算繼續，指稱應當變得更好並有一個極限，使得如果有 $\forall i\in \omega$ $x_{i}\leq x_{i+1}$，則最小上界 $\vee _{i\in \omega }x_{i}$ 應當存在。這個性質叫做 ω-完全性。
3. 有限元素是可數的。一個元素 x 是有限的(在域文獻中也叫做孤立的)，若且唯若只要 A 是有向的，∨A 存在並且 $x\leq \vee A$，就存在 $a\in A$ 有著 $x\leq a$。換句話說，x 是有限的，如果必須通過 x 來趕上或通過極限過程來超過 x。
4. 所有元素都是有限元素的可數遞增序列的最小上界。在直覺上這意味著所有元素都可以通過在其中所有進步(progression)都是有限的一個計算過程來到達。
5. 域是向下閉合的。

由系統 S 指示的數學指稱通過構造從叫做 ⊥_S 的空指稱遞增更好的逼近來找到 ，使用某個逼近定義函數 progression_s(進步)如下這樣構造 S 的指稱(意義)的 [Hewitt 2006b]:

Denote_s ≡ ∨_i∈ω progression_sⁱ(⊥_S)。

期望值 progression_s 是單調的，就是說，如果 x≤y 則 progression_s(x)≤progression_s(y)。更一般的說，我們期望值

如果 ∀i∈ω x_i≤x_i+1，則 progression_s(∨_i∈ω x_i) = ∨_i∈ω progression_s(x_i)

最後陳述的 progression_s 的性質叫做 ω-連續性。

指稱語義的中心問題是刻畫什麼時候可能依據 Denote_s 的等式建立指稱(意義)。計算域理論的基本定理就是如果 progression_s 是 ω-連續的，則 Denote_s 存在。

從 progression_s 的 ω-連續性得出

progression_s(Denote_s) = Denote_s

上述等式引出了術語 Denote_s 是 progression_s 的不動點。

進一步的，這個不動點是 progression_s 的最小不動點。

在下節中給出函數式程序的指稱語義作為不動點語義的例子。

階乘函數的例子

考慮如下定義在所有數上的 factorial 函數:

factorial ≡ λ(n)if (n==0)then 1 else n*factorial(n-1)

factorial 的 graph 是定義了 factorial 的所有有序對的集合，有序對的第一個元素是參數而第二個元素是值，例如: graph(factorial) = {<n, factorial(n)>|n∈ω} = {<0,1>,<1,1>,<2,2>,<3,6>,<4,24>…}， factorial 程序的指稱(意義) Denote_factorial 被構造如下:

Denote_factorial = graph(factorial) = ∪_i∈ω progression_factorialⁱ({})

這裡的

progression_factorial(g) ≡ λ(n)if (n==0)then 1 else n*g(n-1)

注意: progression_factorial 是不動點算子(參見上節中的定義)，它的最小不動點是 Denote_factorial，就是

Denote_factorial = progression_factorial(Denote_factorial)

還有 progression_factorial 是 ω-連續的(參見上節中的定義)。

從演員語義得出 Scott 連續性

演員模型為得出 Dana Scott 的函數的指稱語義(在前面章節關於 factorial 的例子所展示的)提供了基礎，Carl Hewitt 和 Henry Baker [1977] 首次給出了定理證明:

如果一個演員 f 表現得如同數學函數，則 progression_f 是 Scott 連續函數，其最小不動點是

graph(f) = ∪_i∈ω progression_fⁱ({})

這裡的

progression_f(G)≡{<x, y>|<x, y>∈graph(f) 和 immediate-descendants_f(<x, y>)⊆G}

Hewitt 和 Baker 的論文在定義 immediate-descendants_f 時的缺陷由 Will Clinger [1981] 修正。

程式語言中的複合性

主條目：複合性原理

程式語言的指稱語義的重要方面是複合性，通過它程序的指稱可以從它的各個部分的指稱來構造。例如，考慮表達式 "<expression₁> + <expression₂>"。在這種情況下複合性是依據 <expression₁> 和 <expression₂> 的意義而為 "<expression₁> + <expression₂>" 提供意義。

引用

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• Joseph E. Stoy, Denotational Semantics: The Scott-Strachey Approach to Programming Language Semantics. MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 1977. (A classic if dated textbook.)
• Gordon Plotkin. A powerdomain construction SIAM Journal of Computing September 1976.
• Edsger Dijkstra. A Discipline of Programming Prentice Hall. 1976.
• Krzysztof R. Apt, J. W. de Bakker. Exercises in Denotational Semantics MFCS 1976: 1-11
• J. W. de Bakker. Least Fixed Points Revisited Theor. Comput. Sci. 2(2): 155-181 (1976)
• Carl Hewitt and Henry Baker Actors and Continuous Functionals Proceeding of IFIP Working Conference on Formal Description of Programming Concepts. August 1–5, 1977.
• Henry Baker. Actor Systems for Real-Time Computation MIT EECS Doctoral Dissertation. January 1978.
• Michael Smyth. Power domains Journal of Computer and System Sciences. 1978.
• C.A.R. Hoare. Communicating Sequential Processes CACM. August, 1978.
• George Milne and Robin Milner. Concurrent processes and their syntax JACM. April, 1979.
• Nissim Francez, C.A.R. Hoare, Daniel Lehmann, and Willem-Paul de Roever. Semantics of nondeterminism, concurrency, and communication Journal of Computer and System Sciences. December 1979.
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• William Wadge. An extensional treatment of dataflow deadlock Semantics of Concurrent Computation. Springer-Verlag. 1979.
• Ralph-Johan Back. Semantics of Unbounded Nondeterminism ICALP 1980.
• David Park. On the semantics of fair parallelism Proceedings of the Winter School on Formal Software Specification. Springer-Verlag. 1980.
• Will Clinger, Foundations of Actor Semantics. MIT Mathematics Doctoral Dissertation, June 1981. (Quoted by permission of author.)
• Carl Hewitt (2006a). The repeated demise of logic programming and why it will be reincarnated What Went Wrong and Why: Lessons from AI Research and Applications. Technical Report SS-06-08. AAAI Press. March 2006.
• Carl Hewitt (2006b) What is Commitment? Physical, Organizational, and Social （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） COIN@AAMAS. 2006.