特徵裂隙

在矩陣論中，特徵裂隙（eigen gap）指的是一組相鄰的特徵值（或奇異值）所構成的集合，與其它特徵值（或奇異值）之間的豪斯多夫距離。

特徵裂隙的概念，一般只在矩陣的全部特徵值（或奇異值）都是實數之語境下提出和研討。

定義

假設矩陣 $A\in \mathbb {R} ^{m\times n},m\geq n$ 的特徵值（或奇異值）都是實數，從大到小排序如下： $\lambda _{1}\geq \cdots \geq \lambda _{n}$，對任意給定的 $(r,s):1\leq r\leq s\leq n$，考慮第 $r$ 至第 $s$ 個特徵值（或奇異值）構成的集合 ${\cal {S}}:\{\lambda _{i}:r\leq i\leq s\}$，那麼該集合 ${\cal {S}}$ 的特徵裂隙定義為：

$\delta =\min(\lambda _{r-1}-\lambda _{r},\lambda _{s}-\lambda _{s+1})$

其中為方便，不妨設 $\lambda _{0}=+\infty ,\lambda _{n+1}=-\infty$.

重要性

特徵裂隙是對矩陣的線性子空間進行誤差分析的基礎。特徵裂隙較大的 ${\cal {S}}$，其對應的特徵向量所張成的線性子空間，在矩陣元素被誤差項（往往是隨機誤差）所污染時，具有較好的穩定性。反之，若特徵裂隙為0，則由線性代數知， ${\cal {S}}$ 對應的特徵向量所張成的線性子空間不是唯一的。特徵裂隙較小的 ${\cal {S}}$ 不具有抗拒隨機誤差的穩定性。

在機器學習中，對譜聚類算法的理論性質進行研究時，建立足夠的特徵裂隙一般來說屬於理論分析的核心部分。

需要注意的是，如果目標是估計矩陣的線性子空間，那麼特徵裂隙具有核心的重要地位。但如果目標是為矩陣本身降噪，那麼特徵裂隙是不重要的，流行的矩陣估計方法也並不需要任何特徵裂隙條件。

參見

• Davis-Kahan定理
• 特徵擾動